Évaluation de MATHÉMATIQUES
Niveau Première - Suites Arithmétiques & Probabilités
Exercice 1 : Suites Arithmétiques (5 pts)
Soit $\left( u_{n} \right)$ une suite arithmétique définie sur $\mathbb{N}$. On connaît deux termes de cette suite : $u_{5} = 17$ et $u_{10} = 32$.
- Déterminer la raison $r$ de la suite $\left( u_{n} \right)$.
- Calculer le premier terme $u_{0}$.
- Exprimer le terme général $u_{n}$ en fonction de $n$.
- Calculer la somme des 25 premiers termes de la suite (c'est-à-dire $S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{24}$).
1. Raison $r$ :
Puisque la suite est arithmétique, on a $u_{10} = u_{5} + \left( 10 - 5 \right)r$.
$32 = 17 + 5r$ donc $5r = 15$ donc $r = \dfrac{15}{5} = 3$.
La raison de la suite est $r = 3$.
2. Premier terme $u_{0}$ :
On utilise $u_{5} = u_{0} + 5r$.
$17 = u_{0} + 5 \times 3$ donc $17 = u_{0} + 15$ donc $u_{0} = 17 - 15 = 2$.
Le premier terme est $u_{0} = 2$.
3. Terme général $u_{n}$ :
$u_{n} = u_{0} + nr$.
L'expression est $u_{n} = 2 + 3n$.
4. Somme $S$ :
La somme des 25 premiers termes comporte $n = 25$ termes.
Le dernier terme est $u_{24} = 2 + 3 \times 24 = 2 + 72 = 74$.
$S = \dfrac{25}{2} \times \left( u_{0} + u_{24} \right) = \dfrac{25}{2} \times \left( 2 + 74 \right) = \dfrac{25}{2} \times 76 = 25 \times 38 = 950$.
La valeur de la somme est $S = 950$.
Exercice 2 : Calcul de somme (4 pts)
En utilisant les connaissances acquises sur les suites arithmétiques, calculer la valeur de la somme $S$ suivante :
$S = 15 + 22 + 29 + \dots + 225$.
Il s'agit de la somme des termes d'une suite arithmétique $\left( v_{n} \right)$ de premier terme $v_{0} = 15$ et de raison $r = 22 - 15 = 7$.
Cherchons l'indice $n$ tel que $v_{n} = 225$.
$15 + 7n = 225$ donc $7n = 210$ donc $n = \dfrac{210}{7} = 30$.
La somme va de l'indice $0$ à l'indice $30$, elle contient donc $31$ termes.
$S = \dfrac{31}{2} \times \left( 15 + 225 \right) = \dfrac{31}{2} \times 240 = 31 \times 120 = 3720$.
La somme est $S = 3720$.
Exercice 3 : Probabilités - Tableau (5 pts)
Enquête sur les habitudes culturelles : 60% vont au cinéma ($C$), 20% font les deux (cinéma et lecture $L$), et 30% ne pratiquent aucune activité.
- Compléter le tableau de probabilités ci-dessous.
- Calculer la probabilité qu'un lycéen lise sachant qu'il va au cinéma.
- Calculer la probabilité qu'il pratique au moins une des deux activités.
- Les événements $C$ et $L$ sont-ils indépendants ? Justifier.
1. Tableau de probabilités :
| $L$ | $\bar{L}$ | Total | |
|---|---|---|---|
| $C$ | $0,20$ | $0,40$ | $0,60$ |
| $\bar{C}$ | $0,10$ | $0,30$ | $0,40$ |
| Total | $0,30$ | $0,70$ | $1,00$ |
2. Probabilité $P_{C} \left( L \right)$ :
$P_{C} \left( L \right) = \dfrac{P \left( C \cap L \right)}{P \left( C \right)} = \dfrac{0,20}{0,60} = \dfrac{1}{3}$.
La probabilité est $P_{C} \left( L \right) = \dfrac{1}{3}$.
3. Probabilité $P \left( C \cup L \right)$ :
Pratiquer au moins une activité est l'événement contraire de "n'en pratiquer aucune" ($\bar{C} \cap \bar{L}$).
$P \left( C \cup L \right) = 1 - P \left( \bar{C} \cap \bar{L} \right) = 1 - 0,30 = 0,70$.
La probabilité est $0,70$.
4. Indépendance :
$P \left( C \right) \times P \left( L \right) = 0,60 \times 0,30 = 0,18$.
Or $P \left( C \cap L \right) = 0,20$.
Comme $P \left( C \cap L \right) \neq P \left( C \right) \times P \left( L \right)$, les événements ne sont pas indépendants.
Exercice 4 : Probabilités conditionnelles (6 pts)
Filtre antispam ($S$: spam ; $B$: bloqué). 25% sont des spams. Si spam, bloqué dans 96%. Si légitime, bloqué par erreur dans 2%.
- Construire un arbre pondéré.
- Calculer la probabilité $P \left( S \cap B \right)$.
- Calculer la probabilité que le message soit bloqué.
- Si un message est bloqué, quelle est la probabilité que ce soit un spam ? (arrondir au millième).
1. Arbre pondéré :
2. Probabilité $P \left( S \cap B \right)$ :
$P \left( S \cap B \right) = P \left( S \right) \times P_{S} \left( B \right) = 0,25 \times 0,96 = 0,24$.
La probabilité est $0,24$.
3. Probabilité $P \left( B \right)$ :
D'après la formule des probabilités totales :
$P \left( B \right) = P \left( S \cap B \right) + P \left( \bar{S} \cap B \right) = 0,24 + 0,75 \times 0,02 = 0,24 + 0,015 = 0,255$.
La probabilité est $0,255$.
4. Probabilité $P_{B} \left( S \right)$ :
$P_{B} \left( S \right) = \dfrac{P \left( S \cap B \right)}{P \left( B \right)} = \dfrac{0,24}{0,255} \approx 0,941$.
La probabilité arrondie est $0,941$.