DST de Mathématiques (durée: 2 heures)

1. Forme canonique :

La forme canonique d'un polynôme du second degré est $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$, où $(\alpha, \beta)$ sont les coordonnées du sommet.

L'énoncé donne le sommet $S(3, -4)$.
Donc, $\alpha = 3$ et $\beta = -4$.
La fonction s'écrit : $f(x) = a(x-3)^2 - 4$.

Pour trouver $a$, on utilise l'autre point $A(1, 0)$. On sait que $f(1) = 0$.
$a(1-3)^2 - 4 = 0$
$a(-2)^2 - 4 = 0$
$4a - 4 = 0$
$4a = 4$, donc $a = 1$.

La forme canonique est $f(x) = (x-3)^2 - 4$.

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2. Forme factorisée :

Pour trouver la forme factorisée $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$, on cherche les racines, c'est-à-dire les solutions de $f(x) = 0$.

On utilise la forme canonique :
$(x-3)^2 - 4 = 0$
$(x-3)^2 = 4$
On a deux solutions :
1. $x-3 = 2$, donc $x = 5$
2. $x-3 = -2$, donc $x = 1$
Les racines sont $x_1 = 1$ et $x_2 = 5$. (Le point A nous donnait déjà la racine $x=1$).

La forme factorisée est $f(x) = 1(x-1)(x-5)$, soit $f(x) = (x-1)(x-5)$.

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3. Tableau de variation :

La fonction est un polynôme du second degré avec $a=1$. Comme $a > 0$, la parabole est "ouverte vers le haut" (elle décroît puis croît). Le minimum est atteint au sommet $x = \alpha = 3$.

1. $2x^{2}+x-1>0$

On cherche une racine évidente. On teste $x=1$ : $2(1)^2 + 1 - 1 = 2 \neq 0$.
On teste $x=-1$ : $2(-1)^2 + (-1) - 1 = 2 - 1 - 1 = 0$.
$x_1 = -1$ est une racine évidente. Le produit des racines $x_1 \times x_2$ est $\frac{c}{a} = -\frac{1}{2}$.
Donc $(-1) \times x_2 = -\frac{1}{2}$, ce qui donne $x_2 = \frac{1}{2}$.
Le polynôme $P(x) = 2x^2+x-1$ a pour racines $-1$ et $\frac{1}{2}$. C'est une parabole "ouverte vers le haut" ($a=2 > 0$).
Elle est donc positive ( $>0$ ) à l'extérieur de ses racines.

Solution : $S = ]-\infty; -1[ \cup ]\frac{1}{2}; +\infty[$.

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2. $(x+2)(3x-4)-(x+2)(x-1)\le0$

On factorise par le terme commun $(x+2)$ :
$(x+2) \left[ (3x-4) - (x-1) \right] \le 0$
$(x+2) (3x-4-x+1) \le 0$
$(x+2)(2x-3) \le 0$
On fait un tableau de signes :
$x+2$ s'annule en $x=-2$.
$2x-3$ s'annule en $x=\frac{3}{2}$.

On cherche les valeurs où l'expression est négative ou nulle ($\le 0$).

Solution : $S = [-2; \frac{3}{2}]$.

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3. $x^{2}+2x-3<0$

On cherche une racine évidente. On teste $x=1$ : $(1)^2 + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$.
$x_1 = 1$ est une racine évidente. Le produit des racines $x_1 \times x_2$ est $\frac{c}{a} = -\frac{3}{1} = -3$.
Donc $1 \times x_2 = -3$, ce qui donne $x_2 = -3$.
Le polynôme $P(x) = x^2+2x-3$ a pour racines $1$ et $-3$. C'est une parabole "ouverte vers le haut" ($a=1 > 0$).
Elle est donc négative ( $<0$ ) à l'intérieur de ses racines.

Solution : $S = ]-3; 1[$.

1. $\displaystyle \frac{2x-3}{x+1}>0$

On étudie le signe du numérateur et du dénominateur. La valeur interdite est $x \neq -1$.
$2x-3 = 0$ donne $x = \frac{3}{2}$
$x+1 = 0$ donne $x = -1$
On dresse le tableau de signes :

On cherche les valeurs où le quotient est strictement positif ($>0$).

Solution : $S = ]-\infty; -1[ \cup ]\frac{3}{2}; +\infty[$.

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2. $\displaystyle \frac{(x-2)(x+3)}{4-x}\le0$

La valeur interdite est $x \neq 4$.
$x-2 = 0$ donne $x = 2$
$x+3 = 0$ donne $x = -3$
$4-x = 0$ donne $x = 4$

On cherche les valeurs où l'expression est négative ou nulle ($\le 0$). On inclut les zéros du numérateur ($-3$ et $2$) mais on exclut la valeur interdite ($4$).

Solution : $S = [-3; 2] \cup ]4; +\infty[$.

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3. $\displaystyle \frac{x^{2}-4}{x}\ge0$

La valeur interdite est $x \neq 0$.
On factorise le numérateur : $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
$x-2=0$ donne $x = 2$
$x+2=0$ donne $x = -2$
$x=0$

On cherche les valeurs où l'expression est positive ou nulle ($\ge 0$). On inclut les zéros du numérateur ($-2$ et $2$) mais on exclut la valeur interdite ($0$).

Solution : $S = [-2; 0[ \cup [2; +\infty[$.

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4. $-x^{3} - 3x^{2} + 5x \ge 0$

Ceci n'est pas une inéquation quotient, mais un polynôme de degré 3. On factorise par $x$ :
$x(-x^2 - 3x + 5) \ge 0$
On étudie le signe du terme du second degré $P(x) = -x^2 - 3x + 5$.
$\Delta = (-3)^2 - 4(-1)(5) = 9 + 20 = 29$.
Les racines sont :
$x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{29}}{2(-1)} = \frac{3 - \sqrt{29}}{-2} = \frac{\sqrt{29} - 3}{2} \approx 1.19$
$x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{29}}{2(-1)} = \frac{3 + \sqrt{29}}{-2} = \frac{-\sqrt{29} - 3}{2} \approx -4.19$
Le polynôme $P(x)$ est une parabole "ouverte vers le bas" ($a=-1 < 0$). Elle est donc positive *entre* ses racines $x_2$ et $x_1$.
On dresse un tableau de signes pour $x \times P(x)$ :

On cherche les valeurs où le produit est positif ou nul ($\ge 0$).

Solution : $S = ]-\infty; \frac{-\sqrt{29}-3}{2}] \cup [0; \frac{\sqrt{29}-3}{2}]$.

1. Forme canonique :

La forme canonique est $B(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$.
L'énoncé indique que le bénéfice maximal est de 5000 euros pour 7 objets. Le bénéfice $B(x)$ est en *centaines d'euros*, donc le maximum est $\beta = \frac{5000}{100} = 50$.
Ce maximum est atteint pour $x=7$, donc $\alpha = 7$.
La fonction s'écrit : $B(x) = a(x-7)^2 + 50$.

On utilise la deuxième information : l'entreprise ne fait ni bénéfice ni perte pour 12 objets, ce qui signifie $B(12) = 0$.
$a(12-7)^2 + 50 = 0$
$a(5)^2 + 50 = 0$
$25a = -50$
$a = -2$.

La forme canonique est $B(x) = -2(x-7)^2 + 50$.

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2. Tableau de variation sur $[0, 12]$ :

La fonction $B(x)$ a pour sommet $(\alpha, \beta) = (7, 50)$. Comme $a = -2 < 0$, la parabole est "ouverte vers le bas" (elle croît puis décroît).
On calcule la valeur au début de l'intervalle : $B(0) = -2(0-7)^2 + 50 = -2(49) + 50 = -98 + 50 = -48$.
On connaît déjà la valeur à la fin : $B(12) = 0$.

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3. Plage de rentabilité :

L'entreprise est rentable si $B(x) > 0$. On cherche donc à résoudre $-2(x-7)^2 + 50 > 0$.
On résout d'abord $B(x) = 0$ :
$-2(x-7)^2 = -50$
$(x-7)^2 = 25$
On a deux solutions :
1. $x-7 = 5$, donc $x = 12$
2. $x-7 = -5$, donc $x = 2$
Les racines sont $x_1 = 2$ et $x_2 = 12$.
Comme $a < 0$, la parabole est positive *entre* ses racines.

L'entreprise est rentable si elle produit entre 2 et 12 objets ($S = ]2; 12[$). (Puisqu'à $x=12$, le bénéfice est nul).

1. $(u_{n})$ définie par $u_{n}=3n-5$ :

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2. $(v_{n})$ définie par $v_{n}=\frac{n+1}{n+2}$ :

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3. $(w_{n})$ définie par $w_{0}=2$ et $w_{n+1}=2w_{n}-3$ :

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4. $(z_{n})$ définie par $z_{0}=1$ et $z_{n+1}=z_{n}^{2} - n$ :

1. $(u_{n})$ définie par $u_{n}=n^{2}+2n-1$ :

$u_{n+1} = (n+1)^2 + 2(n+1) - 1$
$u_{n+1} = (n^2+2n+1) + (2n+2) - 1 = $ $n^2 + 4n + 2$

$u_{n-1} = (n-1)^2 + 2(n-1) - 1$
$u_{n-1} = (n^2-2n+1) + (2n-2) - 1 = $ $n^2 - 2$

$u_{2n} = (2n)^2 + 2(2n) - 1 = $ $4n^2 + 4n - 1$

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2. $(v_{n})$ définie par $v_{n+1}=3v_{n}-2$ :

On veut $v_{n+2}$ en fonction de $v_{n}$.
On part de la définition : $v_{k+1} = 3v_{k} - 2$
On remplace $k$ par $(n+1)$ : $v_{(n+1)+1} = 3v_{n+1} - 2$
$v_{n+2} = 3v_{n+1} - 2$
On remplace $v_{n+1}$ par son expression en fonction de $v_n$ :
$v_{n+2} = 3(3v_{n} - 2) - 2$
$v_{n+2} = 9v_{n} - 6 - 2$
$v_{n+2} = 9v_{n} - 8$

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3. $(w_{n})$ définie par $w_{n+1} = -w_{n} + n - 2$ :

On veut $w_{n+2}$ en fonction de $w_{n}$.
On part de la définition : $w_{k+1} = -w_{k} + k - 2$
On remplace $k$ par $(n+1)$ : $w_{(n+1)+1} = -w_{n+1} + (n+1) - 2$
$w_{n+2} = -w_{n+1} + n - 1$
On remplace $w_{n+1}$ par son expression :
$w_{n+2} = -(-w_{n} + n - 2) + n - 1$
$w_{n+2} = w_{n} - n + 2 + n - 1$
$w_{n+2} = w_{n} + 1$