D.S de MATHÉMATIQUES
Niveau Première - Le Second Degré
Exercice 1 (3 pts)
Soit $f$ une fonction polynôme du second degré passant par le sommet $S(3,-4)$ et par $A(1,0)$.
- Déterminer la forme canonique de $f$.
- Déterminer la forme factorisée de $f(x)$.
- Dresser le tableau de variation de $f$.
1. Forme canonique :
$f(x) = a \left( x-3 \right)^2 - 4$. Avec $f(1)=0$, on a $a \left( 1-3 \right)^2 - 4 = 0 \implies 4a = 4 \implies a=1$.
Donc $f(x) = \left( x-3 \right)^2 - 4$.
2. Forme factorisée :
$\left( x-3 \right)^2 - 4 = 0 \iff \left( x-3-2 \right) \left( x-3+2 \right) = 0 \iff \left( x-5 \right) \left( x-1 \right) = 0$.
Donc $f(x) = \left( x-1 \right) \left( x-5 \right)$.
Exercice 2 (3 pts)
Résoudre les inéquations suivantes dans $\mathbb{R}$ sans utiliser le discriminant :
- $2x^{2}+x-1 > 0$
- $(x+2)(3x-4)-(x+2)(x-1) \le 0$
- $x^{2}+2x-3 < 0$
1. Résolution de $2x^{2}+x-1 > 0$ :
Cherchons une racine évidente. Pour $x_1 = -1$ : $2 \times \left( -1 \right)^2 + \left( -1 \right) - 1 = 2 - 1 - 1 = 0$.
Donc $x_1 = -1$ est une racine évidente.
Le produit des racines est $\dfrac{c}{a} = -\dfrac{1}{2}$. On a $-1 \times x_2 = -\dfrac{1}{2}$, donc $x_2 = \dfrac{1}{2}$.
Le coefficient $a=2$ est positif, le trinôme est donc positif à l'extérieur des racines.
$S = \left] -\infty \ ; \ -1 \right[ \cup \left] \dfrac{1}{2} \ ; \ +\infty \right[$.
2. Résolution de $(x+2)(3x-4)-(x+2)(x-1) \le 0$ :
Factorisons par le facteur commun $(x+2)$ :
$(x+2) \left[ \left( 3x - 4 \right) - \left( x - 1 \right) \right] \le 0$
$(x+2) \left( 3x - 4 - x + 1 \right) \le 0$
$(x+2) \left( 2x - 3 \right) \le 0$
Les racines sont $x_1 = -2$ et $x_2 = \dfrac{3}{2}$. Le coefficient du terme en $x^2$ est $2 > 0$.
Le trinôme est donc négatif ou nul entre les racines.
$S = \left[ -2 \ ; \ \dfrac{3}{2} \right]$.
3. Résolution de $x^{2}+2x-3 < 0$ :
Cherchons une racine évidente. Pour $x_1 = 1$ : $1^2 + 2 \times 1 - 3 = 0$.
Donc $x_1 = 1$ est une racine évidente.
Le produit des racines est $\dfrac{c}{a} = -3$. On a $1 \times x_2 = -3$, donc $x_2 = -3$.
Le coefficient $a=1$ est positif, le trinôme est donc strictement négatif entre les racines.
$S = \left] -3 \ ; \ 1 \right[$.
Exercice 3 (5 pts)
Résoudre les inéquations suivantes dans $\mathbb{R}$ :
- $\dfrac{2x-3}{x+1} > 0$
- $\dfrac{(x-2)(x+3)}{4-x} \le 0$
- $\dfrac{x^{2}-4}{x} \ge 0$
- $-x^{3} - 3x^{2} + 5x \ge 0$
1. Résolution de $\dfrac{2x-3}{x+1} > 0$ :
Valeur interdite : $x = -1$. Racine du numérateur : $x = \dfrac{3}{2}$.
$S = \left] -\infty \ ; \ -1 \right[ \cup \left] \dfrac{3}{2} \ ; \ +\infty \right[$.
2. Résolution de $\dfrac{(x-2)(x+3)}{4-x} \le 0$ :
Valeurs critiques : $-3$, $2$ et valeur interdite $4$.
$S = \left[ -3 \ ; \ 2 \right] \cup \left] 4 \ ; \ +\infty \right[$.
3. Résolution de $\dfrac{x^{2}-4}{x} \ge 0$ :
On factorise le numérateur : $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. Valeurs critiques : $-2, 0, 2$.
$S = \left[ -2 \ ; \ 0 \right[ \cup \left[ 2 \ ; \ +\infty \right[$.
4. Résolution de $-x^{3} - 3x^{2} + 5x \ge 0$ :
On factorise par $x$ : $x \left( -x^2 - 3x + 5 \right) \ge 0$. Les racines du trinôme sont $x_1 = \dfrac{-\sqrt{29}-3}{2}$ et $x_2 = \dfrac{\sqrt{29}-3}{2}$.
| $x$ | $-\infty$ | $\dfrac{-\sqrt{29}-3}{2}$ | $0$ | $\dfrac{\sqrt{29}-3}{2}$ | $+\infty$ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $x$ | $-$ | | | $-$ | $0$ | $+$ | | | $+$ | ||
| $-x^2 - 3x + 5$ | $-$ | $0$ | $+$ | | | $+$ | $0$ | $-$ | ||
| $x \left( -x^2 - 3x + 5 \right)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
Exercice 4 (3 pts)
Une entreprise fabrique $x$ objets par jour ($x \in \left[ 0 \ ; \ 12 \right]$). Le bénéfice $B(x)$ est en centaines d'euros.
- Bénéfice maximal de 5000 € atteint pour 7 objets.
- Bénéfice nul pour 12 objets produits.
- Déterminer la forme canonique de $B(x)$.
- Dresser le tableau de variation de $B$ sur $\left[ 0 \ ; \ 12 \right]$.
- Justifier par le calcul la plage de rentabilité.
1. Forme canonique :
Puisque le bénéfice est en centaines d'euros, le maximum est $\beta = \dfrac{5000}{100} = 50$. Il est atteint pour $\alpha = 7$.
La forme canonique est donc $B(x) = a \left( x - 7 \right)^2 + 50$.
Avec $B(12) = 0$, on a $a \left( 12 - 7 \right)^2 + 50 = 0 \implies 25a = -50 \implies a = -2$.
La forme canonique est $B(x) = -2 \left( x - 7 \right)^2 + 50$.
2. Tableau de variation :
Le coefficient $a = -2$ est négatif, la fonction est donc d'abord croissante puis décroissante sur $\left[ 0 \ ; \ 12 \right]$.
On calcule $B(0) = -2 \left( 0 - 7 \right)^2 + 50 = -98 + 50 = -48$.
3. Plage de rentabilité ($B(x) > 0$) :
$-2 \left( x - 7 \right)^2 + 50 > 0 \iff -2 \left( x - 7 \right)^2 > -50 \iff \left( x - 7 \right)^2 < 25$.
Donc $-5 < x - 7 < 5$, d'où $2 < x < 12$.
L'entreprise est rentable pour une production entre 2 et 12 objets.
Exercice 5 (2 pts)
Calculer les premiers termes des suites numériques suivantes :
- $\left( u_{n} \right)$ définie par $u_{n} = 3n - 5$. Calculer $u_{1}$ et $u_{10}$.
- $\left( v_{n} \right)$ définie par $v_{n} = \dfrac{n+1}{n+2}$. Calculer $v_{3}$ et $v_{5}$.
- $\left( w_{n} \right)$ par $w_{0} = 2$ et $w_{n+1} = 2w_{n} - 3$. Calculer $w_{1}$ et $w_{2}$.
- $\left( z_{n} \right)$ par $z_{0} = 1$ et $z_{n+1} = z_{n}^{2} - n$. Calculer $z_{1}$ et $z_{2}$.
1. $u_{1} = 3 \times 1 - 5 = $ $-2$ ; $u_{10} = 3 \times 10 - 5 = $ $25$.
2. $v_{3} = \dfrac{3+1}{3+2} = $ $\dfrac{4}{5}$ ; $v_{5} = \dfrac{5+1}{5+2} = $ $\dfrac{6}{7}$.
3. $w_{1} = 2 \times 2 - 3 = $ $1$ ; $w_{2} = 2 \times 1 - 3 = $ $-1$.
4. $z_{1} = 1^2 - 0 = $ $1$ ; $z_{2} = 1^2 - 1 = $ $0$.
Exercice 6 (4 pts)
Pour chaque suite, exprimer le terme demandé en fonction de $n$ :
- $u_{n} = n^{2} + 2n - 1$. Exprimer $u_{n+1}$ et $u_{2n}$.
- $v_{n+1} = 3v_{n} - 2$. Exprimer $v_{n+2}$ en fonction de $v_{n}$.
- $w_{n+1} = -w_{n} + n - 2$. Exprimer $w_{n+2}$ en fonction de $w_{n}$.
1. $u_{n+1} = (n+1)^2 + 2(n+1) - 1 = n^2 + 4n + 2$.
$u_{2n} = (2n)^2 + 2(2n) - 1 = $ $4n^2 + 4n - 1$.
2. $v_{n+2} = 3v_{n+1} - 2 = 3(3v_{n}-2) - 2 = $ $9v_{n} - 8$.
3. $w_{n+2} = -w_{n+1} + (n+1) - 2 = -(-w_{n}+n-2) + n - 1 = $ $w_{n} + 1$.