D.S de MATHÉMATIQUES

Pour $(E_1)$ :

$\Delta = \left( -1 \right)^2 - 4 \times 1 \times \left( -6 \right) = 25 > 0$.
$x_1 = \dfrac{1-\sqrt{25}}{2} = -2$ et $x_2 = \dfrac{1+\sqrt{25}}{2} = 3$.
donc $S = \left\{ -2 \ ; \ 3 \right\}$

Pour $(E_2)$ :

$\Delta = \left( -3 \right)^2 - 4 \times 2 \times 4 = 9 - 32 = -23 < 0$.
donc $S = \emptyset$

Pour $(E_3)$ :

En multipliant par 4, on obtient : $x^2 - 2x - 8 = 0$.
$\Delta = \left( -2 \right)^2 - 4 \times 1 \times \left( -8 \right) = 4 + 32 = 36 > 0$.
$x_1 = \dfrac{2-6}{2} = -2$ et $x_2 = \dfrac{2+6}{2} = 4$.
donc $S = \left\{ -2 \ ; \ 4 \right\}$

Pour $(E_4)$ :

$(2x-1)^2 - (x+3)^2 = 0 \iff \left[ (2x-1)-(x+3) \right] \left[ (2x-1)+(x+3) \right] = 0$
donc $(x-4)(3x+2) = 0$.
donc $S = \left\{ -\dfrac{2}{3} \ ; \ 4 \right\}$

Pour $(E_5)$ :

$2x+1 = \sqrt{5}$ ou $2x+1 = -\sqrt{5}$.
$x = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ ou $x = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$.
donc $S = \left\{ \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \ ; \ \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right\}$

Pour $(E_6)$ :

$-(x+1)(x-2) + (x+4)(x-2) = 0 \iff (x-2) \left[ -(x+1) + (x+4) \right] = 0$
donc $(x-2)(3) = 0$.
donc $S = \left\{ 2 \right\}$

Pour $P_1(x)$ :

$P_1(x) = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 5$.
donc $P_1(x) = (x+3)^2 - 4$

Pour $P_2(x)$ :

$P_2(x) = -2 \left( x^2 - 3x \right) - 1 = -2 \left[ \left( x - \dfrac{3}{2} \right)^2 - \dfrac{9}{4} \right] - 1$
$P_2(x) = -2 \left( x - \dfrac{3}{2} \right)^2 + \dfrac{9}{2} - \dfrac{2}{2}$.
donc $P_2(x) = -2 \left( x - \dfrac{3}{2} \right)^2 + \dfrac{7}{2}$