D.S de MATHÉMATIQUES
Niveau Première - Le Second Degré
Durée : 0h 45min
Calculatrice interdite
Exercice 1 (7 pts)
Résoudre en utilisant la méthode de son choix :
$(E_1) : x^2 + 3x - 4 = 0$
$(E_2) : -x^2 + 3x - 5 = 0$
$(E_3) : \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{6} = 0$
Pour $(E_1)$ :
$\Delta = 3^2 - 4 \times 1 \times \left( -4 \right) = 25 > 0$.Les racines sont $x_1 = \dfrac{-3-\sqrt{25}}{2} = -4$ et $x_2 = \dfrac{-3+\sqrt{25}}{2} = 1$.
donc $S = \left\{ -4 \ ; \ 1 \right\}$
Pour $(E_2)$ :
$\Delta = 3^2 - 4 \times \left( -1 \right) \times \left( -5 \right) = 9 - 20 = -11 < 0$.donc $S = \emptyset$
Pour $(E_3)$ :
En multipliant par 6, on obtient l'équation équivalente : $3x^2+2x-1=0$.$\Delta = 2^2 - 4 \times 3 \times \left( -1 \right) = 16 > 0$.
$x_1 = \dfrac{-2-\sqrt{16}}{2\times 3} = -1$ et $x_2 = \dfrac{-2+\sqrt{16}}{2\times 3} = \dfrac{1}{3}$.
donc $S = \left\{ -1 \ ; \ \dfrac{1}{3} \right\}$
Exercice 2 (8 pts)
Résoudre sans utiliser le discriminant $\Delta$ :
$(E_4) : (x-1)^2 = (x+2)^2$
$(E_5) : (3x-2)^2 = 7$
$(E_6) : (x-2)(1-x)-(x+3)(x-1)=0$
Pour $(E_4)$ :
$(x-1)^2 - (x+2)^2 = 0 \iff \left[ (x-1) - (x+2) \right] \left[ (x-1) + (x+2) \right] = 0$donc $-3(2x+1) = 0$ donc $2x+1 = 0$.
donc $S = \left\{ -\dfrac{1}{2} \right\}$
Pour $(E_5)$ :
$3x-2 = \sqrt{7}$ ou $3x-2 = -\sqrt{7}$.$x = \dfrac{2+\sqrt{7}}{3}$ ou $x = \dfrac{2-\sqrt{7}}{3}$.
donc $S = \left\{ \dfrac{2-\sqrt{7}}{3} \ ; \ \dfrac{2+\sqrt{7}}{3} \right\}$
Pour $(E_6)$ :
$-(x-2)(x-1)-(x+3)(x-1)=0 \iff (x-1) \left[ -(x-2)-(x+3) \right] = 0$donc $(x-1)(-2x-1) = 0$.
donc $S = \left\{ -\dfrac{1}{2} \ ; \ 1 \right\}$
Exercice 3 (5 pts)
Déterminer la forme canonique par le calcul :
$P_1(x) = x^2 - 4x + 3$
$P_2(x) = -3x^2 - 5x + 1$
Pour $P_1(x)$ :
$P_1(x) = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3$.donc $P_1(x) = (x-2)^2 - 1$
Pour $P_2(x)$ :
$P_2(x) = -3 \left( x^2 + \dfrac{5}{3}x \right) + 1$$P_2(x) = -3 \left[ \left( x + \dfrac{5}{6} \right)^2 - \left( \dfrac{5}{6} \right)^2 \right] + 1$
$P_2(x) = -3 \left( x + \dfrac{5}{6} \right)^2 + 3 \times \dfrac{25}{36} + 1$
$P_2(x) = -3 \left( x + \dfrac{5}{6} \right)^2 + \dfrac{25}{12} + \dfrac{12}{12}$.
donc $P_2(x) = -3 \left( x + \dfrac{5}{6} \right)^2 + \dfrac{37}{12}$