D.S de MATHÉMATIQUES
Niveau Première - Fonction exponentielle, droites, cercles et variables aléatoires
Exercice 1 : (3 pts)
Sur la planète Dictat, le gouvernement met en œuvre une politique nataliste. Toute famille doit avoir au moins un enfant et au plus trois enfants. Dès que l’on a un garçon, on n’a pas d’autre enfant. Si c’est une fille, on a un autre enfant. Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre d’enfants d’une famille. On suppose l’équiprobabilité des garçons et des filles à la naissance.
1) Déterminer la loi de probabilité de $X$.
2) Calculer $E(X)$.
1) Arbre de probabilités :
Les valeurs de $X$ sont $\{1 ; 2 ; 3\}$.
| $x_i$ | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{1}{4}$ | $\dfrac{1}{4}$ |
2)
$E(X) = 1 \times \dfrac{1}{2} + 2 \times \dfrac{1}{4} + 3 \times \dfrac{1}{4}$
$= \dfrac{2}{4} + \dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{4} = \textcolor{#D93025}{\dfrac{7}{4}}$ (soit $1,75$).
Exercice 2 : (7 pts)
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs. On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique. On note :
• $S$ l’événement « le voyageur fait sonner le portique » ;
• $M$ l’événement « le voyageur porte un objet métallique ».
On considère que $\dfrac{1}{500}$ des voyageurs porte sur lui un objet métallique.
1. On admet que :
• Si un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est $\dfrac{49}{50}$ ;
• Si un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est $\dfrac{49}{50}$.
À l’aide des données de l’énoncé, recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous illustrant cette situation.
2 - Calculer la probabilité qu'un voyageur porte sur lui un objet métallique et qu'il ne fasse pas sonner le portique.
3 - Montrer que $P(S)=\dfrac{137}{6250}$ (soit $0,02192$).
4 - En déduire la probabilité qu’un voyageur porte un objet métallique sachant qu’il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à $10^{-4}$ près).
5 - On choisit deux voyageurs au hasard. On note $X$ la variable aléatoire qui donne, parmi les 2 voyageurs, le nombre de voyageurs ayant fait sonner le portique. On suppose le nombre de voyageurs suffisamment important pour assimiler le choix de 2 voyageurs à des tirages identiques et indépendants. Pour simplifier les calculs, on prendra pour cette question $P(S)=\dfrac{11}{500}$ (soit $0,022$).
a. Faire un arbre pondéré modélisant la situation.
b. Quelle est la loi de probabilité de $X$ (arrondir les probabilités à $10^{-4}$ près) ?
c. Calculer la probabilité qu’au moins un des 2 voyageurs ait fait sonner le portique.
1) $P(M)=\dfrac{1}{500}$ donc $P(\bar{M})=\dfrac{499}{500}$. $P_M(S)=\dfrac{49}{50}$ donc $P_M(\bar{S})=\dfrac{1}{50}$. $P_{\bar{M}}(\bar{S})=\dfrac{49}{50}$ donc $P_{\bar{M}}(S)=\dfrac{1}{50}$.
2) $P(M \cap \bar{S}) = P(M) \times P_M(\bar{S})$
$= \dfrac{1}{500} \times \dfrac{1}{50}$
$= \textcolor{#D93025}{\dfrac{1}{25\,000}}$.
3) D'après la formule des probabilités totales :
$P(S) = P(M \cap S) + P(\bar{M} \cap S)$
$= \dfrac{1}{500} \times \dfrac{49}{50} + \dfrac{499}{500} \times \dfrac{1}{50}$
$= \dfrac{49}{25\,000} + \dfrac{499}{25\,000} = \dfrac{548}{25\,000} = \textcolor{#D93025}{\dfrac{137}{6250}}$.
4) $P_S(M) = \dfrac{P(M \cap S)}{P(S)}$
$= \dfrac{\dfrac{49}{25\,000}}{\dfrac{548}{25\,000}} = \dfrac{49}{548}$
$\approx \textcolor{#D93025}{0,0894}$.
5) a. Arbre modélisant les 2 tirages indépendants ($P(S)=\dfrac{11}{500}$) :
b. Loi de probabilité de $X$ :
$\bullet$ $P(X=0) = \dfrac{489}{500} \times \dfrac{489}{500} = \dfrac{239\,121}{250\,000} \approx \textcolor{#D93025}{0,9565}$.
$\bullet$ $P(X=1) = \dfrac{11}{500} \times \dfrac{489}{500} + \dfrac{489}{500} \times \dfrac{11}{500} = \dfrac{10\,758}{250\,000} = \dfrac{5379}{125\,000} \approx \textcolor{#D93025}{0,0430}$.
$\bullet$ $P(X=2) = \dfrac{11}{500} \times \dfrac{11}{500} = \dfrac{121}{250\,000} \approx \textcolor{#D93025}{0,0005}$.
c. $P(X \ge 1) = P(X=1) + P(X=2)$
$= \dfrac{10\,758}{250\,000} + \dfrac{121}{250\,000} = \dfrac{10\,879}{250\,000} \approx \textcolor{#D93025}{0,0435}$.
Exercice 3 : (5 pts)
On considère la fonction $f$ définie sur $[-2;8]$ par :
$f(x)=(-4x^2+5)e^{-x}$.
On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
1) On note $f'$ la dérivée de $f$.
a) Démontrer que pour tout réel $x \in [-2;8]$ :
$f'(x)=(4x^2-8x-5)e^{-x}$.
b) Étudier le signe de $f'$ sur $[-2;8]$.
c) Dresser le tableau de variation de $f$ sur $[-2;8]$.
2) Donner une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 0.
1) a) On pose $u(x)=-4x^2+5$ donc $u'(x)=-8x$ et $v(x)=e^{-x}$ donc $v'(x)=-e^{-x}$.
$f'(x) = -8xe^{-x} + (-4x^2+5)(-e^{-x})$
$= (-8x+4x^2-5)e^{-x}$
$= \textcolor{#D93025}{(4x^2-8x-5)e^{-x}}$.
b) Comme $e^{-x} > 0$, $f'(x)$ est du signe de $4x^2-8x-5$.
$\Delta = (-8)^2 - 4 \times 4 \times (-5) = 64 + 80 = 144$.
Racines : $x_1 = \dfrac{8-12}{8} = -\dfrac{1}{2}$ et $x_2 = \dfrac{8+12}{8} = \dfrac{5}{2}$.
c) Tableau de variations :
2) $f(0)=5$ et $f'(0)=-5$.
$(T) : y = f'(0)(x-0) + f(0) = -5x+5$.
Donc $\textcolor{#D93025}{y = -5x+5}$.
Exercice 4 : (5 pts)
Soit $A(1 ; 2)$ et $B(-1 ; 3)$ deux points donnés dans un repère orthonormé du plan.
1) Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.
2) Calculer les coordonnées d’un vecteur normal à la droite $(AB)$ qu’on appellera $\vec{n}$.
3) Soit $C(4 ; 5)$ un point du plan. Déterminer une équation de la droite $(d)$ perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par $C$.
4) Calculer les coordonnées du point d’intersection de $(AB)$ et $(d)$ qu’on appellera $H$.
5) Déterminer une équation du cercle $(\mathcal{C})$ de centre $C$ passant par $H$.
1) $\vec{AB}\left(-2 ; 1\right)$. Un vecteur normal à $(AB)$ est $\vec{n}(1 ; 2)$.
$(AB) : 1(x-1) + 2(y-2) = 0$
donc $x-1+2y-4=0$
donc $\textcolor{#D93025}{x+2y-5=0}$.
2) Comme vu précédemment, $\vec{n}\left(1 ; 2\right)$ est normal car :
$\vec{n} \cdot \vec{AB} = 1(-2) + 2(1) = 0$.
Donc $\textcolor{#D93025}{\vec{n}(1;2)}$.
3) $(d)$ est perpendiculaire à $(AB)$ donc elle a pour vecteur directeur $\vec{n}(1;2)$.
$(d) : 2(x-4) - 1(y-5) = 0$
donc $2x-8-y+5=0$
donc $\textcolor{#D93025}{2x-y-3=0}$.
4) Intersection $H$ : $\begin{cases} x+2y=5 \\ 2x-y=3 \end{cases}$. Par substitution : $y = 2x-3$.
$x + 2(2x-3) = 5$ donc $5x-6=5$ donc $x=\dfrac{11}{5}$.
$y = 2 \times \dfrac{11}{5} - \dfrac{15}{5} = \dfrac{7}{5}$.
Donc $\textcolor{#D93025}{H\left(\dfrac{11}{5} ; \dfrac{7}{5}\right)}$.
5) $R^2 = CH^2 = \left(\dfrac{11}{5}-4\right)^2 + \left(\dfrac{7}{5}-5\right)^2$
$= \left(-\dfrac{9}{5}\right)^2 + \left(-\dfrac{18}{5}\right)^2$
$= \dfrac{81}{25} + \dfrac{324}{25} = \dfrac{405}{25} = \dfrac{81}{5}$.
$(\mathcal{C}) : \textcolor{#D93025}{(x-4)^2 + (y-5)^2 = \dfrac{81}{5}}$.