Exercice 1 : (3 pts)
Sur la planète Dictat, le gouvernement met en œuvre une politique nataliste. Toute famille doit avoir au moins un enfant et au plus trois enfants. Dès que l’on a un garçon, on n’a pas d’autre enfant. Si c’est une fille, on a un autre enfant. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre d’enfants d’une famille. On suppose l’équiprobabilité des garçons et des filles à la naissance.
1) Déterminer la loi de probabilité de X.
2) Calculer E(X).
Exercice 2 : (7 pts)
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs. On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique. On note :
• S l’événement « le voyageur fait sonner le portique » ;
• M l’événement « le voyageur porte un objet métallique ».
On considère qu’un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique.
1. On admet que :
• Si un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est 0,98 ;
• Si un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est 0,98.
À l’aide des données de l’énoncé, recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous illustrant cette situation.
2 - Calculer la probabilité qu'un voyageur porte sur lui un objet métallique et qu'il ne fasse pas sonner le portique.
3 - Montrer que $P(S)=0,02192$.
4 - En déduire la probabilité qu’un voyageur porte un objet métallique sachant qu’il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à $10^{-4}$ près).
5 - On choisit deux voyageurs au hasard. On note X la variable aléatoire qui donne, parmi les 2 voyageurs, le nombre de voyageurs ayant fait sonner le portique. On suppose le nombre de voyageurs suffisamment important pour assimiler le choix de 2 voyageurs à des tirages identiques et indépendants. Pour simplifier les calculs, on prendra pour cette question $P(S)=0,022$.
a. Faire un arbre pondéré modélisant la situation.
b. Quelle est la loi de probabilité de X (arrondir les probabilités à $10^{-4}$ près) ?
c. Calculer la probabilité qu’au moins un des 2 voyageurs ait fait sonner le portique.
Exercice 3 : (5 pts)
On considère la fonction $f$ définie sur $[-2;8]$ par $f(x)=(-4x^2+5)e^{-x}$. On note (C) la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
1) On note $f'$ la dérivée de $f$.
a) Démontrer que pour tout réel $x \in [-2;8], f'(x)=(4x^2-8x-5)e^{-x}$.
b) Étudier le signe de $f'$ sur $[-2;8]$.
c) Dresser le tableau de variation de $f$ sur $[-2;8]$.
2) Donner une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 0.
Exercice 4 : (5 pts)
Soit A(1 ; 2) et B( − 1 ; 3) deux points donnés dans un repère orthonormé du plan.
1) Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).
2) Calculer les coordonnées d’un vecteur normal à la droite (AB) qu’on appellera $\vec{n}$.
3) Soit C(4 ; 5) un point du plan. Déterminer une équation de la droite (d) perpendiculaire à la droite (AB) passant par C.
4) Calculer les coordonnées du point d’intersection de (AB) et (d) qu’on appellera H.
5) Déterminer une équation du cercle (C) de centre C passant par H.
