Exercice 1 : (6 pts)
1) Simplifier le plus possible les expressions suivantes en détaillant les calculs :
a) $A = \frac{e^6 \times e^{-4}}{e^{-3}}$
b) $B = \frac{e^{1+x}}{e^{x+2}}$
c) $C = \frac{(e^{-2x})^3 \times e^{4x}}{e^{-2x}}$
2) Montrer les égalités suivantes pour tout réel x :
a) $2(e^x-1)(e^x+4) = 2e^{2x}+6e^x-8$
b) $\frac{(e^x-1)(e^x+1)}{e^{2x}} = 1-\frac{1}{e^{2x}}$
Exercice 2 : (4 pts)
1) Résoudre les équations suivantes dans ℝ en justifiant rigoureusement :
a) $(7x-23)e^x=0$
b) $e^{2x+3}=e$
2) Résoudre les inéquations suivantes dans ℝ en justifiant rigoureusement :
a) $e^{-x}-1 \le 0$
b) $(6-3x)e^x > 0$
Exercice 3 : (5 pts)
Soit $f$ la fonction définie sur $[-5;3]$ par $f(x)=(x^2-5x+7)e^x$.
1) Calculer $f'(x)$.
2) Étudier le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$ en précisant les valeurs exactes des bornes et des extremums de $f$ .
Exercice 4 : (5 pts)
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(ax+b)e^{kx}$ où $a, b$ et $k$ sont des réels. On appelle Cf sa courbe représentative dans un repère ortthonormé. Sachant que les points A(0 ; 2) et B(1 ; 0) appartiennent à Cf et que la tangente en A à Cf passe par le point C(1 ; -2), déterminer $a, b$ et $k$.