D.S de MATHÉMATIQUES
Niveau Première - Fonction exponentielle
Exercice 1 : (6 pts)
1) Simplifier le plus possible les expressions suivantes en détaillant les calculs :
a. $A = \dfrac{e^6 \times e^{-4}}{e^{-3}}$
b. $B = \dfrac{e^{1+x}}{e^{x+2}}$
c. $C = \dfrac{\left(e^{-2x}\right)^3 \times e^{4x}}{e^{-2x}}$
2) Montrer les égalités suivantes pour tout réel $x$ :
a) $2(e^x-1)(e^x+4) = 2e^{2x}+6e^x-8$
b) $\dfrac{(e^x-1)(e^x+1)}{e^{2x}} = 1-\dfrac{1}{e^{2x}}$
1) a) $A = \dfrac{e^{6-4}}{e^{-3}} = \dfrac{e^2}{e^{-3}} = e^{2-(-3)} = \textcolor{#D93025}{e^5}$.
b) $B = e^{(1+x)-(x+2)} = e^{1+x-x-2} = \textcolor{#D93025}{e^{-1}}$.
c) $C = \dfrac{e^{-6x} \times e^{4x}}{e^{-2x}} = \dfrac{e^{-2x}}{e^{-2x}} = \textcolor{#D93025}{1}$.
2) a) $2(e^x-1)(e^x+4) = 2((e^x)^2+4e^x-e^x-4) = 2(e^{2x}+3e^x-4) = \textcolor{#D93025}{2e^{2x}+6e^x-8}$.
b) $\dfrac{(e^x-1)(e^x+1)}{e^{2x}} = \dfrac{(e^x)^2-1^2}{e^{2x}} = \dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}} = \dfrac{e^{2x}}{e^{2x}}-\dfrac{1}{e^{2x}} = \textcolor{#D93025}{1-\dfrac{1}{e^{2x}}}$.
Exercice 2 : (4 pts)
1) Résoudre les équations suivantes dans $\mathbb{R}$ :
a. $(7x-23)e^x=0$
b. $e^{2x+3}=e$
2) Résoudre les inéquations suivantes dans $\mathbb{R}$ :
a. $e^{-x}-1 \le 0$
b. $(6-3x)e^x > 0$
1) a. $(7x-23)e^x=0$ donc $7x-23=0$ ou $e^x=0$. Or $\forall x \in \mathbb{R}, e^x>0$, donc $x=\dfrac{23}{7}$. $\textcolor{#D93025}{S=\left\{\dfrac{23}{7}\right\}}$.
1) b. $e^{2x+3}=e^1$ donc $2x+3=1$ donc $2x=-2$ donc $x=-1$. $\textcolor{#D93025}{S=\{-1\}}$.
2) a. $e^{-x} \le 1$ donc $e^{-x} \le e^0$ donc $-x \le 0$ donc $x \ge 0$. $\textcolor{#D93025}{S=[0;+\infty[}$.
2) b. Comme $e^x > 0$, l'inéquation équivaut à $6-3x>0$ donc $6>3x$ donc $2>x$. $\textcolor{#D93025}{S=]-\infty;2[}$.
Exercice 3 : (5 pts)
Soit $f$ la fonction définie sur $[-5;3]$ par $f(x)=(x^2-5x+7)e^x$.
1) Calculer $f'(x)$.
2) Étudier le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$.
1) Dérivée : $u=x^2-5x+7$ donc $u'=2x-5$ et $v=e^x$ donc $v'=e^x$.
$f'(x) = (2x-5)e^x + (x^2-5x+7)e^x = \textcolor{#D93025}{(x^2-3x+2)e^x}$.
2) Variations : Comme $e^x > 0$, $f'(x)$ est du signe de $x^2-3x+2$. Les racines sont $x_1=1$ et $x_2=2$.
Exercice 4 : (5 pts)
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(ax+b)e^{kx}$.
La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par les points $A(0 ; 2)$ et $B(1 ; 0)$.
La tangente en $A$ passe par le point $C(1 ; -2)$.
Déterminer les réels $a, b$ et $k$.
$\bullet$ $A(0;2) \in \mathcal{C}_f$ donc $f(0)=(a \times 0 + b)e^0 = 2$ donc $\textcolor{#D93025}{b=2}$.
$\bullet$ $B(1;0) \in \mathcal{C}_f$ donc $f(1)=(a+2)e^k=0$. Comme $e^k \neq 0$, $a+2=0$ donc $\textcolor{#D93025}{a=-2}$.
$\bullet$ Dérivée : $u(x)=-2x+2$ donc $u'(x)=-2$ et $v(x)=e^{kx}$ donc $v'(x)=ke^{kx}$.
$f'(x) = -2e^{kx} + (-2x+2)ke^{kx} = e^{kx}(-2kx + 2k - 2)$.
$\bullet$ Tangente en $A(0;2)$ passant par $C(1;-2)$ : $f'(0) = \dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A} = \dfrac{-2-2}{1-0} = -4$.
On a $f'(0) = e^0(2k-2) = 2k-2$. Donc $2k-2 = -4$ donc $2k = -2$ donc $\textcolor{#D93025}{k=-1}$.
Conclusion : $\textcolor{#D93025}{f(x) = (-2x+2)e^{-x}}$.