D.S de MATHÉMATIQUES
Niveau Première - Produit scalaire
Exercice 1 : (8 pts)
1) Dans chaque cas, calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ :
$AH=2$ ; $AC=1$ et $AB=4$
$AB=6$ ; $AC=3$ et $CH=2$
2) Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ des vecteurs tels que $\|\overrightarrow{u}\|=1, \|\overrightarrow{v}\|=5$ et $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=4$.
a) Calculer $(3\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{v}$
b) Calculer $\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\| \times \|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\|$
1) Calculs de produits scalaires :
$\bullet$ Cas 1 : Par projection orthogonale de $B$ sur la droite $(AC)$, on obtient le point $H$. Comme $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont de sens contraires, on a :
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{AC} = -AH \times AC = -2 \times 1 =$ $-2$.
$\bullet$ Cas 2 : Dans le repère orthonormal, on lit les coordonnées $A(1;2)$, $B(-2;1)$ et $C(3;-1)$. On en déduit les vecteurs $\overrightarrow{AB}(-3;-1)$ et $\overrightarrow{AC}(2;-3)$.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = x_{\overrightarrow{AB}} \times x_{\overrightarrow{AC}} + y_{\overrightarrow{AB}} \times y_{\overrightarrow{AC}} = -3 \times 2 + (-1) \times (-3) = -6 + 3 = \text{\color{#D93025}{-3}}$.
$\bullet$ Cas 3 : Par projection orthogonale de $B$ sur $(AC)$, on obtient $H$. Les vecteurs $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont de même sens avec $AH = AC+CH = 3+2=5$ et $AC=3$ :
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{AC} = AH \times AC = 5 \times 3 =$ $15$.
2) Calculs vectoriels :
a) $(3\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{v} = 3\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} - \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{v} = 3\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} - \|\overrightarrow{v}\|^2 = 3\times 4 - 5^2 = 12 - 25 =$ $-13$.
b) $\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|^2 = \|\overrightarrow{u}\|^2 - 2\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} + \|\overrightarrow{v}\|^2 = 1^2 - 2\times 4 + 5^2 = 18$ donc $\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\| = \sqrt{18}$.
$\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\|^2 = \|\overrightarrow{u}\|^2 + 2\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} + \|\overrightarrow{v}\|^2 = 1^2 + 2\times 4 + 5^2 = 34$ donc $\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\| = \sqrt{34}$.
Le produit est $\sqrt{18} \times \sqrt{34} = \sqrt{612} = \sqrt{36 \times 17} = 6\sqrt{17}$ donc $6\sqrt{17}$.
Exercice 2 : (6 pts)
ABC est un triangle équilatéral de côté 4. J est le milieu de $[AB]$ et AJCD est un rectangle de centre K.
1) Calculer les produits scalaires :
$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}$ ; $\overrightarrow{CK} \cdot \overrightarrow{BC}$ ; $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{DC}$ ; $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD}$ ; $\overrightarrow{DK} \cdot \overrightarrow{CB}$ ; $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CK}$
2) On appelle H le projeté orthogonal de D sur la droite $(AC)$. En calculant le produit scalaire $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD}$ d’une autre façon, calculer la longueur AH.
1) Calculs directs :
a) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = AC \times AB \times \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 4 \times 4 \times \dfrac{1}{2} =$ $8$.
b) $\overrightarrow{CK} \cdot \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{CK} \cdot \overrightarrow{CB} = -2 \times 4 \times \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -8 \times \dfrac{1}{2} =$ $-4$.
c) $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{DC} = -BA \times DC = -4 \times 2 =$ $-8$.
d) Dans le triangle rectangle $ADC$, $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = (\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})\cdot\overrightarrow{AD} = AD^2 = AC^2 - DC^2 = 4^2 - 2^2 =$ $12$.
e) $\overrightarrow{DK} \cdot \overrightarrow{CB} = (\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CK})\cdot\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CK}\cdot\overrightarrow{CB} = 4 + 4 =$ $8$.
f) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CK} = \overrightarrow{AB} \cdot \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA} = -\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -\dfrac{1}{2} \times 8 =$ $-4$.
2) Calcul de AH :
Figure complète avec le projeté orthogonal H
On sait que $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = 12$.
Par projection orthogonale de $D$ sur $(AC)$ en $H$, on a $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AH}$.
Comme $H$ appartient au segment $[AC]$, les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont colinéaires et de même sens. donc $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = AC \times AH$.
donc $4 \times AH = 12$, ce qui donne $AH = 3$.
Exercice 3 : (6 pts)
ABCD est un carré de côté 10. $I$ est le milieu de $[DC]$, $H$ est le milieu de $[AB]$ et $E$ est le milieu de $[BC]$. $BEFG$ est un carré de côté 5.
Calculer les produits scalaires :
$\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{FE}$ ; $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BG}$ ; $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{DG}$ ; $\overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{FG}$ ; $\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{HF}$ ; $\overrightarrow{BI} \cdot \overrightarrow{AC}$
$\bullet$ $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{FE} = 5 \times (-5) = \text{\color{#D93025}{-25}}$. (Vecteurs colinéaires de sens contraires)
$\bullet$ En utilisant le repère $(D; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ où $\overrightarrow{i} = \dfrac{1}{10}\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{j} = \dfrac{1}{10}\overrightarrow{DA}$ :
On a $A(0;10)$, $B(10;10)$, $C(10;0)$, $D(0;0)$, $I(5;0)$, $H(5;10)$ et $E(10;5)$.
Le carré $BEFG$ donne $F(15;5)$ et $G(15;10)$.
$\bullet$ $\overrightarrow{AE}(10;-5)$ et $\overrightarrow{BG}(5;0)$ donc $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BG} = 10 \times 5 + (-5) \times 0 = \text{\color{#D93025}{50}}$.
$\bullet$ $\overrightarrow{AH}(5;0)$ et $\overrightarrow{DG}(15;10)$ donc $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{DG} = 5 \times 15 + 0 \times 10 = \text{\color{#D93025}{75}}$.
$\bullet$ $\overrightarrow{DB}(10;10)$ et $\overrightarrow{FG}(0;5)$ donc $\overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{FG} = 10 \times 0 + 10 \times 5 = \text{\color{#D93025}{50}}$.
$\bullet$ $\overrightarrow{IB}(5;10)$ et $\overrightarrow{HF}(10;-5)$ donc $\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{HF} = 5 \times 10 + 10 \times (-5) = 50 - 50 = \text{\color{#D93025}{0}}$.
$\bullet$ $\overrightarrow{BI}(-5;-10)$ et $\overrightarrow{AC}(10;-10)$ donc $\overrightarrow{BI} \cdot \overrightarrow{AC} = (-5) \times 10 + (-10) \times (-10) = -50 + 100 = \text{\color{#D93025}{50}}$.