D.S de MATHÉMATIQUES
Niveau Première - Application de la dérivation
Exercice 1 :
1) Déterminer l'expression $f'(x)$ de la fonction dérivée pour :
a. $f(x)=-x^3+\dfrac{3}{4}x^2+1+\dfrac{5}{x}$
b. $f(x)=\dfrac{5x-1}{4-3x}$
c. $f(x)=\dfrac{3x-1}{2x^2-3x+2}$
2) Soit $f(x)=(1-2x)\sqrt{x}$. Montrer que $f'(x)=\dfrac{-6x+1}{2\sqrt{x}}$.
a) $f'(x) = -3x^2 + \dfrac{3}{2}x - \dfrac{5}{x^2}$
b) $f'(x) = \dfrac{5(4-3x)-(-3)(5x-1)}{(4-3x)^2} = \dfrac{17}{(4-3x)^2}$
c) $f'(x) = \dfrac{3(2x^2-3x+2)-(3x-1)(4x-3)}{(2x^2-3x+2)^2} = \dfrac{-6x^2+4x+3}{(2x^2-3x+2)^2}$
2) $f'(x) = -2\sqrt{x} + (1-2x)\dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{-4x+1-2x}{2\sqrt{x}} = \dfrac{-6x+1}{2\sqrt{x}}$
Exercice 2 :
Les courbes 1, 2 et 3 présentent des variations similaires. Les graphiques A, B et C représentent leurs fonctions dérivées respectives. Associer chaque fonction à sa dérivée.
Analyse de la Courbe 1 :
La courbe 1 admet des extremums en $x = -2$ et $x = 0$. La dérivée s'annule donc en ces points, ce qui correspond au Graphique B.
Analyse de la Courbe 2 :
La courbe 2 admet des extremums en $x = -2$ et $x = 1$. La dérivée s'annule donc en ces points, ce qui correspond au Graphique C.
Analyse de la Courbe 3 :
La courbe 3 admet des extremums en $x = -1$ et $x = 1$. La dérivée s'annule donc en ces points, ce qui correspond au Graphique A.
Exercice 3 :
Soit $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. La droite $(AB)$ est tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A(1;-11)$. La tangente en $O(0;0)$ est $y=-12x$.
1) Déterminer $f(0), f'(0), f(1)$ et $f'(1)$.
2) Déterminer les coefficients $a, b, c, d$.
3) Dresser le tableau de variations de $f(x)=x^3-12x$.
4) Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses.
1) Lecture des données :
- La courbe passe par l'origine $O(0;0)$, donc $f(0) = 0$.
- La tangente en $O$ a pour équation $y = -12x$, son coefficient directeur est donc $f'(0) = -12$.
- La courbe passe par le point $A(1;-11)$, donc $f(1) = -11$.
- La droite $(AB)$ est la tangente au point $A$ d'abscisse $1$. Son coefficient directeur est $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{16 - (-11)}{-2 - 1} = \dfrac{27}{-3} = -9$. Ainsi $f'(1) = -9$.
2) Détermination des coefficients :
On a $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ et sa dérivée $f'(x) = 3ax^2+2bx+c$.
- $\bullet$ $f(0) = 0$ donc $d = 0$.
- $\bullet$ $f'(0) = -12$ donc $c = -12$.
- $\bullet$ $f(1) = -11$ donc $a + b + c + d = -11$ donc $a + b - 12 = -11$ donc $a + b = 1$.
- $\bullet$ $f'(1) = -9$ donc $3a + 2b + c = -9$ donc $3a + 2b - 12 = -9$ donc $3a + 2b = 3$.
On résout le système $\begin{cases} a + b = 1 \\ 3a + 2b = 3 \end{cases}$. Par substitution, $a = 1 - b$.
$3(1-b) + 2b = 3$ donc $3 - 3b + 2b = 3$ donc $3 - b = 3$ donc $b = 0$.
Comme $b=0$, on en déduit $a=1$. Les coefficients sont : $a=1 \text{, } b=0 \text{, } c=-12 \text{ et } d=0$.
3) Variations de $f$ :
4) Points d'intersection avec l'axe des abscisses :
On cherche les abscisses $x$ telles que $f(x) = 0$.
$x^3 - 12x = 0$ donc $x(x^2 - 12) = 0$.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. On a donc :
$x = 0$ ou $x^2 = 12$ donc $x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ ou $x = -2\sqrt{3}$.
Les points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses ont pour coordonnées :
$(0 ; 0) \text{, } (-2\sqrt{3} ; 0) \text{ et } (2\sqrt{3} ; 0)$.