D.S de MATHÉMATIQUES

a) $f'(x) = -3x^2+\frac{3}{4}\times 2x - 5\times\frac{1}{x^2} = \textcolor{red}{-3x^2+\frac{3}{2}x-\frac{5}{x^2}}$

b) $f'(x) = \frac{5(4-3x)-(5x-1)(-3)}{(4-3x)^2} = \frac{20-15x+15x-3}{(4-3x)^2} = \textcolor{red}{\frac{17}{(4-3x)^2}}$

c) $f'(x) = \frac{3(2x^2-3x+2)-(3x-1)(4x-3)}{(2x^2-3x+2)^2} = \frac{6x^2-9x+6-(12x^2-9x-4x+3)}{(2x^2-3x+2)^2} = \textcolor{red}{\frac{-6x^2+4x+3}{(2x^2-3x+2)^2}}$

2) $f'(x) = -2\sqrt{x}+(1-2x)\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{-2\sqrt{x}\times 2\sqrt{x} + 1-2x}{2\sqrt{x}} = \frac{-4x+1-2x}{2\sqrt{x}} = \textcolor{red}{\frac{-6x+1}{2\sqrt{x}}}$

1)

Pour la courbe 1, $f'(-2)=f'(0)=0$. Donc $Cf'$ est la courbe C.

2)

Pour la courbe 2, g' est négative sur [-1;1]. Donc $Cg'$ est la courbe A.

3)

Pour la courbe 3, h' est positive sur [-1;1]. Donc $Ch'$ est la courbe B.

1) a) Par lecture graphique: $f(0)=0$. La tangente à C au point O(0;0) a pour équation $y=-12x$. Le coefficient directeur de cette tangente est $f'(0)$ donc $f'(0)=-12$.

b) Par lecture graphique: $f(1)=-11$. (AB) est tangente à C au point A(1;-11) donc $f'(1)=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{16-(-11)}{-2-1}=-9$. Donc $f'(1)=-9$.

2) $f(0)=a \times 0^3+b \times 0^2+c \times 0+d=0$ donc $d=0$. $f'(x)=3ax^2+2bx+c$. $f'(0)=3a \times 0^2+2b \times 0+c=-12$ donc $c=-12$.

3) $f(1)=a \times 1^3+b \times 1^2-12 \times 1 = -11 \implies a+b-12=-11 \implies a+b=1$.
$f'(1)=3a \times 1^2+2b \times 1-12=-9 \implies 3a+2b-12=-9 \implies 3a+2b=3$.
On résout le système: $\begin{cases} a+b=1 \\ 3a+2b=3 \end{cases} \implies \begin{cases} b=1-a \\ 3a+2(1-a)=3 \end{cases} \implies \begin{cases} b=1-a \\ a=1 \end{cases} \implies$ $\begin{cases} b=0 \\ a=1 \end{cases}$.
Donc $f(x)=x^3-12x$.

4) a) $f'(x)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2)$.

b) On résout $f(x)=0 \Leftrightarrow x^3-12x=0 \Leftrightarrow x(x^2-12)=0 \Leftrightarrow x(x-\sqrt{12})(x+\sqrt{12})=0$.
$x=0$ ou $x=2\sqrt{3}$ ou $x=-2\sqrt{3}$.
Donc les points d'intersection de C avec (Ox) sont: $(0;0)$; $(2\sqrt{3};0)$; $(-2\sqrt{3};0)$.

1) On pose $u=-x^2+4x-7$ et $v=x-1$ d'où $u'=-2x+4$ et $v'=1$.
$f'(x)=$ $\frac{(-2x+4)(x-1)-(-x^2+4x-7)(1)}{(x-1)^2} = \frac{-2x^2+2x+4x-4+x^2-4x+7}{(x-1)^2} =$ $\frac{-x^2+2x+3}{(x-1)^2}$.

2) $\forall x \in ]-\infty;1[\cup]1;+\infty[, (x-1)^2 > 0$.
Racine évidente: $x_1=-1$ et $x_1x_2=\frac{3}{-1}$ donc $x_2=3$.

3) Tangente à Cf au point d'abscisse 2: $y=f'(2)(x-2)+f(2)$.
$f'(2)=\frac{-2^2+2\times 2+3}{(2-1)^2}=3$. $f(2)=\frac{-2^2+4\times 2-7}{2-1}=-3$.
$y=3(x-2)-3 = 3x-6-3 =$ d'où $y=3x-9$.

1) $f(30)=\frac{8\times 30^2-800\times 30+30000}{30^2}=\frac{13200}{900}=\frac{44}{3} \approx 14,7$.
A 30 km/h, la consommation est de 14,7 L pour 100 km.

$f(50)=\frac{8\times 50^2-800\times 50+30000}{50^2}=\frac{10000}{2500}=4$.
A 50 km/h, la consommation est de 4 L pour 100 km.

2) On pose $u=8x^2-800x+30000$ et $v=x^2$ d'où $u'=16x-800$ et $v'=2x$.
$f'(x)=$ $\frac{(16x-800)x^2-(8x^2-800x+30000)2x}{(x^2)^2} = \frac{16x^3-800x^2-16x^3+1600x^2-60000x}{x^4} = \frac{800x^2-60000x}{x^4} = \frac{x(800x-60000)}{x \times x^3} =$ $\frac{800x-60000}{x^3}$.

3) $\forall x \in [30;130], x^3>0$. $800x-60000=400(2x-150)$. Racine: $2x-150=0 \implies x=75$.

4) Le minimum de f est $f(75) \approx 2,7$.
La consommation est minimale à 75 km/h et vaut environ 2,7 L pour 100 km.