D.S de MATHÉMATIQUES

$f'(x) =$ $2 \times 4x^3 + 3 \times 2x^1 - 1 + 0 =$ $8x^3+6x-1$.

$g(x) =\frac{-3x+1}{2x-4}$. On pose $u(x)=-3x+1$ et $v(x)=2x-4$ d'où $u'(x)=-3$ et $v'(x)=2$.
$g'(x) =$ $\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = \frac{-3(2x-4)-(-3x+1)\times 2}{(2x-4)^2} = \frac{-6x+12+6x-2}{(2x-4)^2} =$ $\frac{10}{(2x-4)^2}$.

$h(x) = 2\sqrt{x} \times \frac{1}{x+1}$. On pose $u(x)=2\sqrt{x}$ et $v(x)=\frac{1}{x+1}$ d'où $u'(x)=2\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ et $v'(x)=-\frac{1}{(x+1)^2}$.
$h'(x) =$ $u'(x)v(x)+u(x)v'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \times \frac{1}{x+1} + 2\sqrt{x} \times \frac{-1}{(x+1)^2} =$ $\frac{1}{(x+1)\sqrt{x}} - \frac{2\sqrt{x}}{(x+1)^2}$.

1) a) A(-4;-2) et C(5;-5). $m_{(AC)} = \frac{y_C-y_A}{x_C-x_A} = \frac{-5-(-2)}{5-(-4)} = -\frac{1}{3}$.
$p_{(AC)} = y_A - m_{(AC)}x_A = -2-(-\frac{1}{3})(-4) = -\frac{10}{3}$.
Donc $(AC): y=-\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}$.

b) $f'(-4)$ est le coefficient directeur de la tangente à Cf en A(-4;-2). Donc $f'(-4)=-\frac{1}{3}$.

2) a) Tangente à Cf au point B(0;2) : $y=f'(0)(x-0)+f(0) = -3x+2$.
Donc $t: y=-3x+2$.

b) B(0;2) $\in$ t. Si x=1 alors $y=-3\times 1+2=-1$ donc D(1;-1) $\in$ t. Voir figure pour le tracé de la droite (BD).