D.S de MATHÉMATIQUES
Niveau Première - Dérivation
Exercice 1 (10 pts)
Déterminer les fonctions dérivées des fonctions ci-dessous :
$f(x) = 2x^4+3x^2-x+1$
$g(x) = \dfrac{-3x+1}{2x-4}$
$h(x) = 2\sqrt{x} \times \dfrac{1}{x+1}$
$\bullet$ $f'(x) = $ $2 \times 4x^3 + 3 \times 2x - 1 = $ $8x^3 + 6x - 1$.
$\bullet$ Pour $g(x) = \dfrac{-3x+1}{2x-4}$, on pose $u(x) = -3x+1$ et $v(x) = 2x-4$.
Alors $u'(x) = -3$ et $v'(x) = 2$.
$g'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = \dfrac{-3(2x-4) - (-3x+1)\times 2}{(2x-4)^2} = \dfrac{-6x + 12 + 6x - 2}{(2x-4)^2} = $ $\dfrac{10}{(2x-4)^2}$.
$\bullet$ Pour $h(x) = 2\sqrt{x} \times \dfrac{1}{x+1}$, on pose $u(x) = 2\sqrt{x}$ et $v(x) = \dfrac{1}{x+1}$.
Alors $u'(x) = 2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ et $v'(x) = -\dfrac{1}{(x+1)^2}$.
$h'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \times \dfrac{1}{x+1} + 2\sqrt{x} \times \left( -\dfrac{1}{(x+1)^2} \right) = $ $\dfrac{1}{(x+1)\sqrt{x}} - \dfrac{2\sqrt{x}}{(x+1)^2}$.
Exercice 2 (10 pts)
On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative d'une fonction $f$. La droite $(AC)$ est tangente à la courbe en $A$.
1) a) Déterminer l'équation réduite de la droite $(AC)$ passant par $A(-4;-2)$ et $C(5;-5)$.
b) Quelle est la valeur de $f'(-4)$ ?
2) a) Sachant que $f'(0) = -3$, donner l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $B$.
b) Tracer cette tangente sur le graphique en précisant la méthode utilisée.
1) a) Les points sont $A(-4 ; -2)$ et $C(5 ; -5)$.
Le coefficient directeur est $m = \dfrac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \dfrac{-5 - (-2)}{5 - (-4)} = \dfrac{-3}{9} = -\dfrac{1}{3}$.
L'ordonnée à l'origine $p$ vérifie $y_A = m x_A + p$, donc $-2 = -\dfrac{1}{3} \times (-4) + p \Rightarrow p = -2 - \dfrac{4}{3} = -\dfrac{10}{3}$.
L'équation de $(AC)$ est donc $y = -\dfrac{1}{3}x - \dfrac{10}{3}$.
b) $f'(-4)$ est le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $A$. Donc $f'(-4) = -\dfrac{1}{3}$.
2) a) Au point $B(0 ; 2)$, on a $f(0) = 2$ et $f'(0) = -3$.
L'équation de la tangente est $y = f'(0)(x - 0) + f(0)$, soit $y = -3x + 2$.
b) Pour tracer cette tangente passant par $B(0 ; 2)$, on utilise le coefficient directeur $-3$. Si on avance de $1$ unité en abscisse, on descend de $3$ unités en ordonnée. On arrive au point $D(1 ; -1)$. On trace alors la droite $(BD)$.