Exercice 1 : (10 pts)
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près. L’asthme est une maladie inflammatoire chronique des voies respiratoires en constante augmentation. En France les statistiques font apparaître que, parmi les adultes, environ 4 % des hommes et 5 % des femmes sont asthmatiques. Dans la population française, on considère l’ensemble des couples homme-femme.
Partie A : Étude de l’état d’asthme du couple
On note : H l’évènement : « L’homme est asthmatique », et F l’évènement : « La femme est asthmatique ».
On admet que les évènements H et F sont indépendants.
1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-contre.
2. On note les évènements :
A : « Aucun des deux adultes du couple n’est asthmatique »
B : « Un seul des deux adultes du couple est asthmatique »
C : « Les deux adultes du couple sont asthmatiques »
Montrer que : $P(A)=0,912 ; P(B)=0,086 ; P(C)=0,002$.
Partie B : Étude de la transmission de l’asthme au premier enfant
Les études actuelles sur cette maladie montrent que :
• Si aucun des parents n’est asthmatique, la probabilité que leur premier enfant soit asthmatique est de 0,1.
• Si un seul des parents est asthmatique, la probabilité que leur premier enfant soit asthmatique est de 0,3.
• Si les deux parents sont asthmatiques, la probabilité que leur premier enfant soit asthmatique est de 0,5.
On note E l’évènement : « Le premier enfant du couple est asthmatique ».
1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-contre.
2. Montrer que $P(E) = 0,118$.
3. Calculer $P_E(A)$ et interpréter le résultat. Déduire $P_E(\bar{A})$ et interpréter le résultat.
Exercice 2 : (4 pts)
Soit f la fonction définie sur $]-\infty;1[ \cup ]1;+\infty[$ par $f(x)=\frac{2x-1}{x-1}$.
1. Calculer $\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$ en fonction de h.
2. En déduire le nombre dérivé de f en 2.
Exercice 3 : (6 pts)
On a représenté ci-contre la courbe représentative d'une fonction f définie sur $[-9;6]$. Les points A, B et C appartiennent à la courbe Cf. Les droites (AK), (BL) et (CM) sont tangentes à la courbe Cf.
1. Déterminer les équations des droites (AK), (BL) et (CM).
2. Donner les valeurs de $f'(-8), f'(-5)$ et $f'(-2)$.