D.S de MATHÉMATIQUES
Niveau Première - Probabilités et Nombre dérivé
Exercice 1 (10 pts)
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près. En France, environ $4$ % des hommes et $5$ % des femmes sont asthmatiques. Dans la population, on considère l'ensemble des couples homme-femme.
Partie A : Étude de l'état d'asthme du couple
On note $H$ l'évènement : « L'homme est asthmatique », et $F$ l'évènement : « La femme est asthmatique ». On admet que $H$ et $F$ sont indépendants.
1) Recopier et compléter l'arbre ci-dessus.
2) Montrer que : $P(A)=0,912$ ; $P(B)=0,086$ ; $P(C)=0,002$.
Partie B : Étude de la transmission au premier enfant
On note $E$ l'évènement : « Le premier enfant du couple est asthmatique ».
1) Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessus.
2) Montrer que $P(E) = 0,118$.
Partie A :
1) Comme $H$ et $F$ sont indépendants, on a $P_H(F)=P(F)=0,05$.
2) $P(A) = P(\bar{H} \cap \bar{F}) = 0,96 \times 0,95 = {\color{#D93025} 0,912}$.
$P(B) = P(H \cap \bar{F}) + P(\bar{H} \cap F) = 0,04 \times 0,95 + 0,96 \times 0,05 = {\color{#D93025} 0,086}$.
$P(C) = P(H \cap F) = 0,04 \times 0,05 = {\color{#D93025} 0,002}$.
Exercice 2 (4 pts)
Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty;1[ \cup ]1;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{2x-1}{x-1}$.
1) Calculer $\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}$ en fonction de $h$.
2) En déduire le nombre dérivé de $f$ en $2$.
1) $f(2) = \dfrac{2 \times 2 - 1}{2 - 1} = 3$.
$\dfrac{f(2+h)-3}{h} = \dfrac{\dfrac{2(2+h)-1}{(2+h)-1} - 3}{h} = \dfrac{\dfrac{3+2h}{1+h} - \dfrac{3(1+h)}{1+h}}{h} = \dfrac{\dfrac{3+2h-3-3h}{1+h}}{h} = \dfrac{\dfrac{-h}{1+h}}{h} = \dfrac{-h}{h(1+h)} = {\color{#D93025} -\dfrac{1}{1+h}}$.
2) $f'(2) = \lim\limits_{h \to 0} \left( { -\dfrac{1}{1+h}} \right) = {\color{#D93025} -1}$.
Exercice 3 (6 pts)
On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $[-9;6]$. Les droites $(AK)$, $(BL)$ et $(CM)$ sont tangentes à $\mathcal{C}_f$ aux points $A, B$ et $C$.
1) Déterminer les équations des droites $(AK)$, $(BL)$ et $(CM)$.
2) Donner les valeurs de $f'(-8)$, $f'(-5)$ et $f'(-2)$.
1) Détermination des équations de tangentes :
$\bullet$ La droite $(AK)$ est la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A(-8;2)$. Elle est horizontale, donc son coefficient directeur est nul : $f'(-8) = 0$.
L'équation de la tangente est de la forme $y = f'(-8)(x - x_A) + f(x_A)$, soit $y = 0(x + 8) + 2$.
L'équation de $(AK)$ est donc ${\color{#D93025} y = 2}$.
$\bullet$ La droite $(BL)$ est la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $B(-5;0)$ et passe par le point $L(-3;-9)$.
Le coefficient directeur est $m = \dfrac{y_L - y_B}{x_L - x_B} = \dfrac{-9 - 0}{-3 - (-5)} = \dfrac{-9}{-3 + 5} = \dfrac{-9}{2}$.
L'équation est de la forme $y = m(x - x_B) + y_B$, soit $y = -\dfrac{9}{2}(x - (-5)) + 0 = -\dfrac{9}{2}(x + 5)$.
$y = -\dfrac{9}{2}x - \dfrac{9 \times 5}{2}$.
L'équation de $(BL)$ est donc ${\color{#D93025} y = -\dfrac{9}{2}x - \dfrac{45}{2}}$.
$\bullet$ La droite $(CM)$ est la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $C(-2;-6)$ et passe par le point $M(-4;-9)$.
Le coefficient directeur est $m = \dfrac{y_M - y_C}{x_M - x_C} = \dfrac{-9 - (-6)}{-4 - (-2)} = \dfrac{-9 + 6}{-4 + 2} = \dfrac{-3}{-2} = \dfrac{3}{2}$.
L'équation est de la forme $y = m(x - x_C) + y_C$, soit $y = \dfrac{3}{2}(x - (-2)) - 6 = \dfrac{3}{2}(x + 2) - 6$.
$y = \dfrac{3}{2}x + \dfrac{3 \times 2}{2} - 6 = \dfrac{3}{2}x + 3 - 6$.
L'équation de $(CM)$ est donc ${\color{#D93025} y = \dfrac{3}{2}x - 3}$.
2) Déduction des nombres dérivés :
Le nombre dérivé $f'(a)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$. D'après les calculs précédents :
${\color{#D93025} f'(-8) = 0}$ ; ${\color{#D93025} f'(-5) = -\dfrac{9}{2}}$ ; ${\color{#D93025} f'(-2) = \dfrac{3}{2}}$.