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D.S de MATHÉMATIQUES

Niveau Première - Trigonométrie et suites

Durée : 1h 00min Calculatrice interdite

Exercice 1 (6 pts)

Placer sur le cercle trigonométrique ci-contre :

1) Les angles suivants avec précision : $\dfrac{\pi}{6} \ ; \ \dfrac{\pi}{4} \ ; \ \dfrac{\pi}{3} \ ; \ \dfrac{\pi}{2}$

2) Les angles suivants : $-\dfrac{2\pi}{3} \ ; \ \dfrac{5\pi}{4} \ ; \ \dfrac{7\pi}{6}$

3) Donner les valeurs exactes de :
$\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) \ ; \ \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) \ ; \ \cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)$

IJO

1)

$\bullet$ Pour $\dfrac{\pi}{6}$, on repère l'ordonnée $\dfrac{1}{2}$ (3 carreaux).
$\bullet$ Pour $\dfrac{\pi}{3}$, on repère l'abscisse $\dfrac{1}{2}$ (3 carreaux).
$\bullet$ Pour $\dfrac{\pi}{4}$, on trace la bissectrice (diagonale du quadrillage).

I J O $\dfrac{\pi}{6}$ $\dfrac{\pi}{4}$ $\dfrac{\pi}{3}$ $\dfrac{\pi}{2}$

2)

Les angles sont construits par symétrie centrale (par rapport à l'origine $O$) :
$\bullet$ $-\dfrac{2\pi}{3}$ est le symétrique de $\dfrac{\pi}{3}$.
$\bullet$ $\dfrac{5\pi}{4}$ est le symétrique de $\dfrac{\pi}{4}$.
$\bullet$ $\dfrac{7\pi}{6}$ est le symétrique de $\dfrac{\pi}{6}$.

IJO $\dfrac{\pi}{6}$ $\dfrac{\pi}{4}$ $\dfrac{\pi}{3}$ $-\dfrac{2\pi}{3}$ $\dfrac{5\pi}{4}$ $\dfrac{7\pi}{6}$

3)

Par symétrie par rapport à l'origine $O$, les points du quadrant III ont des coordonnées opposées à ceux du quadrant I :

$\bullet$ $\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) =$ $-\dfrac{1}{2}$
$\bullet$ $\sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) =$ $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\bullet$ $\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) =$ $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{\pi}{6}$ $\dfrac{\pi}{4}$ $\dfrac{\pi}{3}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{1}{2}$ $-\dfrac{1}{2}$ $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $-\dfrac{2\pi}{3}$ $\dfrac{5\pi}{4}$ $\dfrac{7\pi}{6}$

Exercice 2 (4 pts)

Déterminer un nombre réel $x$ vérifiant les conditions suivantes. On justifiera à l'aide du cercle trigonométrique.

1) $\cos(x) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ avec $x \in \left[\dfrac{\pi}{2} \ ; \ \pi\right]$

2) $\sin(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ avec $x \in \left[\dfrac{3\pi}{2} \ ; \ 2\pi\right]$

1)

On sait que $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2} \ ; \ \pi\right]$, on cherche le point du cercle ayant pour abscisse $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, ce point correspond à l'angle $\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$.
donc $x = \dfrac{5\pi}{6}$.

$\dfrac{\pi}{6}$ $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{5\pi}{6}$

2)

On sait que $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Sur l'intervalle $\left[\dfrac{3\pi}{2} \ ; \ 2\pi\right]$, on cherche le point du cercle ayant pour ordonnée $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, l'angle correspondant est $-\dfrac{\pi}{4}$, soit $2\pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{7\pi}{4}$.
donc $x = \dfrac{7\pi}{4}$.

$\dfrac{\pi}{4}$ $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{7\pi}{4}$

Exercice 3 (4 pts)

Soit $x$ un réel vérifiant $\cos(x) = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ et $x \in [\pi \ ; \ 2\pi]$.

1) Déterminer le signe de $\sin(x)$.

2) Calculer la valeur exacte de $\sin(x)$.

1)

Comme $x \in [\pi \ ; \ 2\pi]$, le point associé est situé dans le demi-cercle inférieur (voir arc rouge).
Sur cette partie du cercle, les ordonnées sont négatives ou nulles.
donc $\sin(x) \le 0$.

$\pi$ $2\pi$

2)

On utilise la relation fondamentale $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ :
$\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) = 1 - \left(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)^2 = 1 - \dfrac{6 + 2\sqrt{12} + 2}{16} = 1 - \dfrac{8 + 4\sqrt{3}}{16} = 1 - \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4} = \dfrac{4 - (2 + \sqrt{3})}{4} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4}$.
Comme d'après la question précédente $\sin(x) \le 0$, on en déduit :
$\sin(x) = -\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}} = -\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$.

Exercice 4 (6 pts)

1) Soit une suite arithmétique $(u_n)$ de raison $-2$ et de premier terme $u_0=3$. Calculer $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$.

2) Soit une suite géométrique $(v_n)$ de raison $\sqrt{2}$ et de premier terme $v_0=2$. Calculer $S' = v_0 + v_1 + \dots + v_{10}$.

3) Calculer $T = v_5 + v_6 + \dots + v_{10}$.

4) Calculer la valeur exacte de $U = 1 + \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{9} + \dots + \dfrac{512}{19683}$.

1) Il y a $11$ termes. $u_{10} = u_0 + 10r = 3 + 10 \times (-2) = -17$.
$S = \dfrac{11}{2} \times \left( u_0 + u_{10} \right) = \dfrac{11}{2} \times \left( 3 - 17 \right) = \dfrac{11}{2} \times (-14) =$ $-77$.

2) $S' = v_0 \dfrac{1 - q^{11}}{1 - q} = 2 \dfrac{1 - (\sqrt{2})^{11}}{1 - \sqrt{2}} = 2 \dfrac{1 - 32\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$.
donc $S' = \dfrac{2 - 64\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$.

3) $T = S' - \left( v_0 + \dots + v_4 \right) = S' - v_0 \dfrac{1 - q^5}{1 - q} = \dfrac{2 - 64\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} - 2 \dfrac{1 - 4\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = \dfrac{2 - 64\sqrt{2} - 2 + 8\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} =$ $\dfrac{-56\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$.

4) $U$ est la somme des $10$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $\dfrac{2}{3}$.
En effet, $\left( \dfrac{2}{3} \right)^n = \dfrac{512}{19683}$ donc $n = 9$ (soit $10$ termes de $n=0$ à $9$).
$U = 1 \times \dfrac{1 - \left( \dfrac{2}{3} \right)^{10}}{1 - \dfrac{2}{3}} = \dfrac{1 - \dfrac{1024}{59049}}{\dfrac{1}{3}} = 3 \times \dfrac{58025}{59049} =$ $\dfrac{58025}{19683}$.