D.S.T de MATHÉMATIQUES

Résoudre les équations ou inéquations ci-dessous :

1) $2x^2+3-3x-12=-4x^2+x-7$

2) $(3-4x)(-x^2+6x-9) \le 0$

3) $\frac{-3x+1}{2-x} \ge \frac{-4x+5}{x+3}$

Un groupement de communes littorales a vu le stock de cabillauds diminuer considérablement aux abords de ses côtes. Les autorités locales ont donc souhaité réglementer la pêche du cabillaud avant sa disparition totale. Elles ont fixé un quota de pêche de 600 tonnes à ne pas dépasser l’année 2022. Elles ont également décidé que ce quota de pêche autorisé diminuerait de 30 tonnes chaque année. Pour tout entier naturel n, on note $u_n$ le quota de pêche de cabillauds autorisé en 2022 + n. Ainsi, on note $u_0=600$.

1) Calculer le quota de pêche de cabillauds autorisé en 2023, puis en 2024.

2) a) Pour tout entier naturel n, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
b) En déduire la nature de la suite $(u_n)$.
c) Exprimer $u_n$ en fonction de n.

3) a) Calculer $u_{10}$ puis interpreter le résultat dans le cadre de l’exercice.
b) Déterminer par le calcul en quelle année les pêcheurs auront un quota inférieur à 200 tonnes si les règles restent inchangées.

4) Un institut scientifique estime qu’en moyenne, il y a 400 tonnes de cabillauds supplémentaires chaque année du fait des naissances. En 2021, le stock était estimé à 5000 tonnes.
a) Calculer le stock de cabillauds en 2022, en 2023 puis en 2024 en tenant compte du quota de pêche et des cabillauds supplémentaires du fait des naissances.
b) Pour tout entier naturel n, on note $v_n$ le stock de cabillauds en 2021 + n. Ainsi, $v_0=5000$. Justifier que pour tout n, $v_{n+1}=v_n-u_n+400$.

Dans une réserve naturelle, on étudie l’évolution de la population d’une race de rhinocéros en voie d’extinction à cause d’une maladie.

PARTIE A

Une étude sur cette population de rhinocéros a montré que leur nombre baisse de 15 % chaque année. Au 1er janvier 2004, la population était estimée à 25 000 rhinocéros. A l’aide d’une suite, on modélise la population au 1er janvier de chaque année. Pour tout entier naturel n, le terme $u_n$ de la suite représente le nombre de rhinocéros au 1er janvier de l’année 2004 + n. On a ainsi $u_0 = 25 000$.

1) Montrer que les effectifs de cette population de rhinocéros étaient respectivement de 21 250 et d’environ 18 063 au 1er janvier 2005 et au 1er janvier 2006.

2) a. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
b. Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ?
c. En déduire une expression de $u_n$ en fonction de n.
d. Déterminer le nombre de rhinocéros que comptera la réserve au 1er janvier 2020.

3) Suivant ce modèle, et à l’aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien d’années après le 1er janvier 2004 le nombre de rhinocéros sera inférieur à 5 000.

PARTIE B

Au 1er janvier 2014, une nouvelle étude a montré que la population de cette race de rhinocéros, dans la réserve naturelle, ne comptait plus que 5 000 individus. La maladie prenant de l’ampleur, on met en place un programme de soutien pour augmenter le nombre de naissances. À partir de cette date, on estime que, chaque année, un quart des rhinocéros disparaît et qu’il se produit 400 naissances. On modélise la population de rhinocéros dans la réserve naturelle à l’aide d’une nouvelle suite. Pour tout entier naturel n, le terme $v_n$ de la suite représente le nombre de rhinocéros au 1er janvier de l’année 2014 + n. On a ainsi $v_0 = 5 000$.

1) Calculer $v_1$, $v_2$ (on laissera sous forme exacte les résultats obtenus)

2) Exprimer, en justifiant, $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.

Nicolas effectue une passe de volley-ball à Stefan. La trajectoire du ballon est modélisée par la fonction h définie par : $h(t)=-0,525t^2+2,1t+1,9$ où $h(t)$ est la hauteur du ballon par rapport au sol, exprimée en mètre, en fonction du temps t en seconde. Pour chacune des questions suivantes, seule une réponse correctement justifiée par des calculs détaillés sera prise en compte. Les résultats obtenus seront, si besoin, arrondis au dixième.

1) Calculer $h(0)$, puis interpréter le résultat obtenu.

2) Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon au cours de sa trajectoire ? Au bout de combien de temps ? (on pourra utiliser la forme canonique de h)

3) Stefan ne parvient pas à toucher le ballon. Combien de temps après le début de la passe ce dernier retombe-t-il au sol ?