D.S.T de MATHÉMATIQUES
Niveau Première - Second degré et suites
Exercice 1 (6 pts)
Résoudre les équations ou inéquations ci-dessous :
1) $2x^2+3-3x-12 = -4x^2+x-7$
2) $(3-4x)(-x^2+6x-9) \le 0$
3) $\dfrac{-3x+1}{2-x} \ge \dfrac{-4x+5}{x+3}$
1) $2x^2-3x-9 = -4x^2+x-7$. On ramène tout dans le membre de gauche :
$2x^2+4x^2-3x-x-9+7 = 0$ donc $6x^2-4x-2=0$.
C'est une équation du second degré avec $a=6, b=-4$ et $c=-2$.
$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2-4 \times 6 \times (-2) = 16 + 48 = 64$.
Comme $\Delta > 0$, l'équation possède deux racines réelles distinctes :
$x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{4-8}{12} = -\dfrac{4}{12} = -\dfrac{1}{3}$ et $x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{4+8}{12} = 1$.
$S = \left\{ -\dfrac{1}{3} \ ; \ 1 \right\}$
2) On cherche les racines de chaque facteur :
$\bullet$ $3-4x=0$ donc $x=\dfrac{3}{4}$.
$\bullet$ $-x^2+6x-9=0$. On remarque que c'est $-(x^2-6x+9) = -(x-3)^2$. La racine double est donc $x_0=3$.
On dresse le tableau de signes en appliquant la règle du signe de $a$ à droite du zéro :
| $x$ | $-\infty$ | $\dfrac{3}{4}$ | $3$ | $+\infty$ | |||
| ${\color{#D93025}-4}x+3$ | $+$ | $0$ | $-$ | $|$ | $-$ | ||
| ${\color{#D93025}-1}x^2+6x-9$ | $-$ | $|$ | $-$ | $0$ | $-$ | ||
| Produit | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $+$ |
On cherche l'intervalle où le produit est négatif ou nul :
$S = \left] -\infty \ ; \ \dfrac{3}{4} \right] \cup \{3\}$
3) $\dfrac{-3x+1}{2-x} - \dfrac{-4x+5}{x+3} \ge 0$. Valeurs interdites : $x=2$ et $x=-3$.
On met au même dénominateur :
$\dfrac{(-3x+1)(x+3)-(-4x+5)(2-x)}{(2-x)(x+3)} \ge 0$ donc $\dfrac{-7x^2+5x-7}{(2-x)(x+3)} \ge 0$.
$\bullet$ Pour le numérateur $-7x^2+5x-7$ : $\Delta = 5^2 - 4(-7)(-7) = 25 - 196 = -171$.
$\Delta < 0$, donc le trinôme est toujours du signe de $a=-7$, soit négatif.
$\bullet$ On dresse le tableau de signes :
| $x$ | $-\infty$ | $-3$ | $2$ | $+\infty$ | |||
| ${\color{#D93025}-7}x^2+5x-7$ | $-$ | $|$ | $-$ | $|$ | $-$ | ||
| ${\color{#D93025}-1}x+2$ | $+$ | $|$ | $+$ | $0$ | $-$ | ||
| ${\color{#D93025}1}x+3$ | $-$ | $0$ | $+$ | $|$ | $+$ | ||
| Quotient | $+$ | $-$ | $+$ |
On cherche où le quotient est positif ou nul :
$S = ]-\infty \ ; \ -3[ \ \cup \ ]2 \ ; \ +\infty[$
Exercice 2 (5 pts)
Un groupement de communes littorales a vu le stock de cabillauds diminuer considérablement. Elles ont fixé un quota de pêche de $600$ tonnes pour 2022, diminuant de $30$ tonnes chaque année. On note $u_n$ le quota en $2022+n$. On a $u_0 = 600$.
1) Calculer le quota en 2023, puis en 2024.
2) a) Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
b) En déduire la nature de la suite $(u_n)$.
c) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
3) a) Calculer $u_{10}$.
b) Déterminer en quelle année le quota sera inférieur à $200$ tonnes.
4) On estime qu'il y a $400$ tonnes de naissances par an. En 2021, le stock était de $5000$ tonnes. Soit $v_n$ le stock en $2021+n$.
a) Calculer le stock en 2022, 2023 et 2024.
b) Justifier que $v_{n+1} = v_n - u_n + 400$.
1) En 2023 ($n=1$), $u_1 = u_0 - 30 = 600 - 30 = $ $570$ tonnes.
En 2024 ($n=2$), $u_2 = u_1 - 30 = 570 - 30 = $ $540$ tonnes.
2) a) Chaque terme est égal au précédent diminué de $30$, donc $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n - 30$.
b) La relation est de la forme $u_{n+1} = u_n + r$ avec $r=-30$. D'après le cours, $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=-30$ et de premier terme $u_0=600$.
c) D'après la formule du cours pour les suites arithmétiques, $u_n = u_0 + n \times r$, donc $u_n = 600 - 30n$.
3) a) $u_{10} = 600 - 30 \times 10 = 600 - 300 = $ $300$ tonnes.
b) On cherche $n$ tel que $u_n \le 200$ :
$600 - 30n \le 200$ donc $-30n \le -400$ donc $n \ge \dfrac{-400}{-30}$ donc $n \ge 13,33$.
Le plus petit entier est $n=14$. Comme $u_0$ correspond à 2022, $u_{14}$ correspond à $2022+14 = $ 2036.
4) a) $v_1 = v_0 - u_0 + 400 = 5000 - 600 + 400 = $ $4800$ tonnes.
$v_2 = v_1 - u_1 + 400 = 4800 - 570 + 400 = $ $4630$ tonnes.
$v_3 = v_2 - u_2 + 400 = 4630 - 540 + 400 = $ $4490$ tonnes.
b) Le stock de l'année $n+1$ est égal au stock de l'année $n$ auquel on retire la pêche $u_n$ et on ajoute les naissances (400), donc $v_{n+1} = v_n - u_n + 400$.
Exercice 3 (5 pts)
PARTIE A : La population de rhinocéros baisse de $15$ % par an. En 2004, elle était de $25000$. Soit $u_n$ la population en $2004+n$.
1) Calculer les effectifs en 2005 et 2006.
2) Nature et expression de $u_n$ en fonction de $n$. Population en 2020 ?
3) Déterminer au bout de combien d'années la population sera inférieure à $5000$.
PARTIE B : En 2014, la population est de $5000$. Chaque année, un quart disparaît et il y a $400$ naissances. Soit $v_n$ la population en $2014+n$.
1) Calculer $v_1$ et $v_2$.
2) Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
PARTIE A :
1) Une baisse de $15\%$ correspond à un coefficient multiplicateur $C = 1 - \dfrac{15}{100} = 0,85$.
$u_1 = u_0 \times 0,85 = 25000 \times 0,85 = $ $21250$.
$u_2 = u_1 \times 0,85 = 21250 \times 0,85 = $ $18062,5$ (on arrondit à $18063$).
2) Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par $q=0,85$. La relation est de la forme $u_{n+1} = u_n \times q$. D'après le cours, $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,85$ et de premier terme $u_0=25000$.
L'expression fonctionnelle est $u_n = u_0 \times q^n = $ $25000 \times 0,85^n$.
En 2020 ($n = 2020 - 2004 = 16$), $u_{16} = 25000 \times 0,85^{16} \approx $ $1856$.
3) Par tâtonnement à la calculatrice :
$u_9 \approx 5790$ et $u_{10} \approx 4922$.
Donc la population sera inférieure à 5000 au bout de $10$ ans.
PARTIE B :
1) Si un quart disparaît, il en reste les trois quarts ($75\%$).
$v_1 = 0,75 \times 5000 + 400 = 3750 + 400 = $ $4150$.
$v_2 = 0,75 \times 4150 + 400 = 3112,5 + 400 = $ $3512,5$.
2) La population de l'année suivante est composée des $75\%$ de la population actuelle plus les 400 naissances, donc $v_{n+1} = 0,75v_n + 400$.
Exercice 4 (4 pts)
La trajectoire d'un ballon de volley est modélisée par $h(t) = -0,525t^2 + 2,1t + 1,9$ où $h(t)$ est en mètres et $t$ en secondes.
1) Calculer $h(0)$ et interpréter.
2) Quelle est la hauteur maximale atteinte ? Au bout de combien de temps ?
3) Au bout de combien de temps le ballon retombe-t-il au sol ?
1) $h(0) = -0,525(0)^2 + 2,1(0) + 1,9 = 1,9$.
Interprétation : Au moment du lancer ($t=0$), le ballon se trouve à $1,9$ mètre de hauteur.
2) $h(t)$ est un trinôme du second degré de la forme $at^2+bt+c$ avec $a=-0,525$ et $b=2,1$.
Comme $a < 0$, la fonction admet un maximum atteint en $t = \alpha = -\dfrac{b}{2a}$.
$\alpha = \dfrac{-2,1}{2 \times (-0,525)} = \dfrac{-2,1}{-1,05} = 2$.
La hauteur maximale est $h(2) = -0,525(2)^2 + 2,1(2) + 1,9 = -2,1 + 4,2 + 1,9 = 4$.
La hauteur maximale de $4$ mètres est atteinte après $2$ secondes de vol.
3) Le ballon touche le sol lorsque $h(t)=0$. On résout $-0,525t^2 + 2,1t + 1,9 = 0$.
$\Delta = (2,1)^2 - 4 \times (-0,525) \times 1,9 = 4,41 + 3,99 = 8,4$.
Comme $\Delta > 0$, l'équation possède deux racines :
$t_1 = \dfrac{-2,1 - \sqrt{8,4}}{-1,05} \approx 4,76$ et $t_2 = \dfrac{-2,1 + \sqrt{8,4}}{-1,05} \approx -0,76$.
Le temps devant être positif, on retient $t_1$.
Le ballon retombe au sol après environ $4,76$ secondes.