D.S de MATHÉMATIQUES

1) Par lecture graphique, $S(-1; 2,5)$ est le sommet de la parabole.
Donc $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta = a(x+1)^2+2,5$.
$A(0; 0,5) \in (C)$ donc $f(0)=0,5$
$a(0+1)^2+2,5 = 0,5 \implies a = -2$.
Donc $f(x) = -2(x+1)^2+2,5$.

2) $f(x)=0 \Leftrightarrow -2(x+1)^2+2,5 = 0$
$(x+1)^2 = \frac{-2,5}{-2} = 1,25$
$(x+1)^2 - 1,25 = 0$
$(x+1-\sqrt{1,25})(x+1+\sqrt{1,25})=0$
$x = -1+\sqrt{1,25}$ ou $x = -1-\sqrt{1,25}$
$S = \{-1+\sqrt{1,25}; -1-\sqrt{1,25}\}$.

3) $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$
$f(x) = -2(x+1-\sqrt{1,25})(x+1+\sqrt{1,25})$.

$(I_1): (x^2+2x-1)(-x^2-3x-2) \le 0$
$(x-1)^2(x^2+3x+2) \le 0$
Racines: $(x-1)^2=0 \implies x=1$.
$x^2+3x+2=0 \implies x_1=-1, x_2=-2$.
Tableau de signes:

$S = [-2; -1]$.

$(I_2): -x-1+\frac{3x-4}{x-4} \ge 0$
VI: $x-4=0$ soit $x=4$.
$\frac{(-x-1)(x-4)+3x-4}{x-4} \ge 0$
$\frac{-x^2-x+4x+4+3x-4}{x-4} \ge 0$
$\frac{-x^2+6x}{x-4} \ge 0$
Racines du numérateur: $-x^2+6x = x(-x+6)$ donc $x_1=0$ et $x_2=6$.
Tableau de signes:

$S = ]-\infty; 0] \cup ]4; 6]$.

1) $u_0 = \frac{0}{2\times 0+1}=0$ et $u_1 = \frac{1}{2\times 1+1}=\frac{1}{3}$.

2) $u_{n+1} = \frac{n+1}{2(n+1)+1} = \frac{n+1}{2n+3}$ et $u_{2n-1} = \frac{2n-1}{2(2n-1)+1} = \frac{2n-1}{4n-1}$.

3) $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}-u_n = \frac{n+1}{2n+3}-\frac{n}{2n+1} = \frac{(n+1)(2n+1)-n(2n+3)}{(2n+3)(2n+1)}$
$= \frac{2n^2+n+2n+1-2n^2-3n}{(2n+3)(2n+1)} = \frac{1}{(2n+3)(2n+1)}$
Donc $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}-u_n > 0$.
Donc $(u_n)$ est croissante.

1) $u_1 = u_{0+1} = u_0 - 0^2 + 3\times 0 - 5 = 1-5 = -4$.
$u_2 = u_{1+1} = u_1 - 1^2 + 3\times 1 - 5 = -4-1+3-5 = -7$.

2) $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}-u_n = -n^2+3n-5$.
Signe de $-n^2+3n-5$: $\Delta = 3^2-4(-1)(-5)=-11 < 0$.
Donc $\forall n \in \mathbb{N}, -n^2+3n-5 < 0$.
Donc $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}-u_n < 0$.
Donc $(u_n)$ est décroissante.