D.S de MATHÉMATIQUES
Niveau Première - Inéquations et suites
Exercice 1 (6 pts)
Soit $(\mathcal{C})$ la courbe représentative d'une fonction polynôme de degré 2, appelée $f$, dans le repère orthonormé ci-contre.
En utilisant les informations portées sur le graphique :
1 – Déterminer la forme canonique de $f$.
2 − Résoudre l’équation $f(x)=0$.
3 − Déterminer la forme factorisée de $f$.
1) Par lecture graphique, $S(-1\ ; \ 2,5)$ est le sommet de la parabole.
Donc $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta = a(x+1)^2+2,5$.
$A(0\ ; \ 0,5) \in (\mathcal{C})$ donc $f(0)=0,5$.
$a(0+1)^2+2,5 = 0,5 \implies a = -2$.
Donc $f(x) = -2(x+1)^2+2,5$
2) $f(x)=0 \iff -2(x+1)^2+2,5 = 0$
$(x+1)^2 = \dfrac{-2,5}{-2} = 1,25$
$(x+1)^2 - 1,25 = 0$
$(x+1-\sqrt{1,25})(x+1+\sqrt{1,25})=0$
$x = -1+\sqrt{1,25}$ ou $x = -1-\sqrt{1,25}$.
$S = \{-1+\sqrt{1,25}\ ; \ -1-\sqrt{1,25}\}$
3) $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$
$f(x) = -2(x+1-\sqrt{1,25})(x+1+\sqrt{1,25})$
Exercice 2 (7 pts)
Résoudre dans $\mathbb{R}$ en utilisant la méthode de son choix :
$(I_1): (-x^2+2x-1)(-x^2-3x-2) \le 0$
$(I_2): -x-1+\dfrac{3x-4}{x-4} \ge 0$
Pour $(I_1) : (-x^2+2x-1)(-x^2-3x-2) \le 0$
$(x^2-2x+1)(x^2+3x+2) \le 0 \iff (x-1)^2(x^2+3x+2) \le 0$.Racines : $(x-1)^2=0 \implies x=1$ et $x^2+3x+2=0 \implies x_1=-1, x_2=-2$.
Tableau de signes :
| $x$ | $-\infty$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $+\infty$ | ||
| $(x-1)^2$ | $+$ | $|$ | $+$ | $|$ | $+$ | $0$ | $+$ |
| $x^2+3x+2$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | $|$ | $+$ |
| Produit | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $+$ |
Pour $(I_2) : -x-1+\dfrac{3x-4}{x-4} \ge 0$
Valeur interdite : $x=4$.$\dfrac{(-x-1)(x-4)+3x-4}{x-4} \ge 0 \iff \dfrac{-x^2+6x}{x-4} \ge 0$.
Racines du numérateur : $-x^2+6x = x(-x+6)$ donc $x_1=0$ et $x_2=6$.
Tableau de signes :
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $4$ | $6$ | $+\infty$ | ||
| $-x^2+6x$ | $-$ | $0$ | $+$ | $|$ | $+$ | $0$ | $-$ |
| $x-4$ | $-$ | $|$ | $-$ | $0$ | $+$ | $|$ | $+$ |
| Quotient | $+$ | $0$ | $-$ | $+$ | $0$ | $-$ |
Exercice 3 (4 pts)
On considère la suite de terme général $u_n = \dfrac{n}{2n+1}$.
1 - Calculer les 2 premiers termes de $(u_n)$.
2 - Exprimer le plus simplement possible $u_{n+1}$ et $u_{2n-1}$ en fonction de $n$.
3 - Étudier le sens de variation de $(u_n)$.
1) $u_0 = \dfrac{0}{2\times 0+1} = $ $0$ et $u_1 = \dfrac{1}{2\times 1+1} = $ $\dfrac{1}{3}$.
2) $u_{n+1} = \dfrac{n+1}{2(n+1)+1} = $ $\dfrac{n+1}{2n+3}$ et $u_{2n-1} = \dfrac{2n-1}{2(2n-1)+1} = $ $\dfrac{2n-1}{4n-1}$.
3) $\forall n \in \mathbb{N}\ ; \ u_{n+1}-u_n = \dfrac{n+1}{2n+3}-\dfrac{n}{2n+1} = \dfrac{(n+1)(2n+1)-n(2n+3)}{(2n+3)(2n+1)}$.
$= \dfrac{2n^2+n+2n+1-2n^2-3n}{(2n+3)(2n+1)} = \dfrac{1}{(2n+3)(2n+1)}$.
Donc $\forall n \in \mathbb{N}\ ; \ u_{n+1}-u_n > 0$.
Donc $(u_n)$ est croissante.
Exercice 4 (3 pts)
Soit la suite définie par : $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n-n^2+3n-5$.
1 - Calculer $u_1$ et $u_2$.
2 - Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.
1) $u_1 = u_{0+1} = u_0 - 0^2 + 3\times 0 - 5 = 1-5 = $ $-4$.
$u_2 = u_{1+1} = u_1 - 1^2 + 3\times 1 - 5 = -4-1+3-5 = $ $-7$.
2) $\forall n \in \mathbb{N}\ ; \ u_{n+1}-u_n = -n^2+3n-5$.
Signe de $-n^2+3n-5$ : $\Delta = 3^2-4(-1)(-5)=-11 < 0$.
Le trinôme est donc toujours du signe de $a=-1$, soit négatif.
Donc $\forall n \in \mathbb{N}\ ; \ u_{n+1}-u_n < 0$.
Donc $(u_n)$ est décroissante.