D.S de MATHÉMATIQUES
Niveau Première - Le Second Degré
Exercice 1 (8 pts)
1) Résoudre les équations ci-dessous avec la méthode de son choix :
$(E_1) : -2x^2 + 5x + 3 = 0$
$(E_2) : \dfrac{1}{2}x^2 - 3x + \dfrac{7}{2} = 0$
$(E_3) : \dfrac{-3x^2 + x + 2}{5-x} = 1$
2) Donner, si possible la forme factorisée des expressions ci-dessous :
$f(x) = -2x^2 + 5x + 3$
$g(x) = x^2 + x + 1$
Pour $(E_1)$ :
$\Delta = 5^2 - 4 \times \left(-2\right) \times 3 = 49$.$x_1 = \dfrac{-5-\sqrt{49}}{2 \times \left(-2\right)} = 3$ et $x_2 = \dfrac{-5+\sqrt{49}}{2 \times \left(-2\right)} = -\dfrac{1}{2}$.
donc $S = \left\{ 3 \ ; \ -\dfrac{1}{2} \right\}$
Pour $(E_2)$ :
On multiplie par 2 : $x^2 - 6x + 7 = 0$.$\Delta = \left(-6\right)^2 - 4 \times 1 \times 7 = 8$.
$x_1 = \dfrac{6-\sqrt{8}}{2} = 3-\sqrt{2}$ et $x_2 = 3+\sqrt{2}$.
donc $S = \left\{ 3-\sqrt{2} \ ; \ 3+\sqrt{2} \right\}$
Pour $(E_3)$ :
Valeur interdite : $x = 5$.$\dfrac{-3x^2+x+2}{5-x} - 1 = 0 \iff \dfrac{-3x^2+x+2-(5-x)}{5-x} = 0 \iff \dfrac{-3x^2+2x-3}{5-x} = 0$.
Numérateur : $\Delta = 2^2 - 4 \times \left(-3\right) \times \left(-3\right) = -32 < 0$.
donc $S = \emptyset$
Factorisations :
Pour $f(x)$ :
D'après la question 1, le trinôme $-2x^2 + 5x + 3$ possède deux racines $x_1 = 3$ et $x_2 = -\dfrac{1}{2}$.
Comme $\Delta > 0$, on utilise la formule de factorisation $a \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right)$ avec $a = -2$.
donc $f(x) = -2 \left( x - 3 \right) \left( x + \dfrac{1}{2} \right)$
Pour $g(x)$ :
On calcule le discriminant : $\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = -3$.
Comme $\Delta < 0$, le trinôme n'admet aucune racine réelle.
donc $g(x)$ n'est pas factorisable dans $\mathbb{R}$ en produit de facteurs du premier degré.
Exercice 2 (8 pts)
Résoudre les équations ci-dessous sans utiliser $\Delta$ :
$(E_4) : x^3 - 6x^2 + 9x = 0$
$(E_4) : x^3 - 6x^2 + 9x = 0$
$(E_5) : (x-1)(x+2)^2 - x = -1$
$(E_6) : -3x^2 + 9x - 6 = 0$
$(E_7) : \dfrac{2x^2 + x - 1}{x+1} = 0$
Pour $(E_4)$ :
$x(x^2-6x+9)=0 \iff x(x-3)^2 = 0$. donc $S=\{0 \ ; \ 3\}$Pour $(E_5)$ :
$(x-1)(x+2)^2 - (x-1) = 0 \iff (x-1) \left[ (x+2)^2 - 1 \right] = 0$$\iff (x-1)(x+2-1)(x+2+1) = 0 \iff (x-1)(x+1)(x+3) = 0$.
donc $S=\{1 \ ; \ -1 \ ; \ -3\}$
Pour $(E_6)$ :
On divise par $-3$ : $x^2-3x+2=0$. Racine évidente $1$ car $1-3+2=0$.Produit des racines $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a} = 2$. donc $S=\{1 \ ; \ 2\}$
Pour $(E_7)$ :
VI : $x = -1$. Numérateur : $2x^2+x-1=0$. Racine évidente $-1$.Mais $-1$ est une valeur interdite. Produit $x_1 \times x_2 = -1/2 \iff -1 \times x_2 = -1/2 \iff x_2 = 1/2$.
donc $S = \left\{ \dfrac{1}{2} \right\}$
Exercice 3 (4 pts)
Mettre sous forme canonique par le calcul (sans utiliser $\alpha$ et $\beta$) :
$P(x) = 3x^2 - 12x + 1$
$Q(x) = -5x^2 + x - 4$
Pour $P(x)$ :
$P(x) = 3(x^2-4x)+1 = 3[(x-2)^2-4]+1 = 3(x-2)^2 - 12 + 1$.donc $P(x) = 3(x-2)^2 - 11$
Pour $Q(x)$ :
$Q(x) = -5 \left( x^2 - \dfrac{1}{5}x \right) - 4 = -5 \left[ \left( x - \dfrac{1}{10} \right)^2 - \dfrac{1}{100} \right] - 4$$Q(x) = -5 \left( x - \dfrac{1}{10} \right)^2 + \dfrac{5}{100} - 4 = -5 \left( x - \dfrac{1}{10} \right)^2 + \dfrac{1}{20} - \dfrac{80}{20}$.
donc $Q(x) = -5 \left( x - \dfrac{1}{10} \right)^2 - \dfrac{79}{20}$