D.S de MATHÉMATIQUES

1) $(E_1): -2x^2+5x+3=0$
$\Delta = 5^2 - 4 \times (-2) \times 3 = 49$
$x_1 = \frac{-5-\sqrt{49}}{2\times(-2)} = \frac{-5-7}{-4} = 3$ et $x_2 = \frac{-5+\sqrt{49}}{2\times(-2)} = \frac{5-7}{-4} = \frac{-1}{2}$
$S = \{3; -\frac{1}{2}\}$

$(E_2): \frac{1}{2}x^2-3x+\frac{7}{2}=0$
$x^2-6x+7=0$
$\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 7 = 8$
$x_1 = \frac{-(-6)-\sqrt{8}}{2\times 1} = \frac{6-2\sqrt{2}}{2} = 3-\sqrt{2}$ et $x_2 = 3+\sqrt{2}$
$S = \{3-\sqrt{2}; 3+\sqrt{2}\}$

$(E_3): \frac{-3x^2+x+2}{5-x}=1$
VI: $5-x=0$ soit $x=5$
$\frac{-3x^2+x+2}{5-x} - 1 = 0$
$\frac{-3x^2+x+2-(5-x)}{5-x} = 0$
$\frac{-3x^2+2x-3}{5-x} = 0$
Racines du numérateur: $-3x^2+2x-3=0$
$\Delta = 2^2-4(-3)(-3) = -32$
$S = \emptyset$

2) $f(x) = -2x^2+5x+3 = -2(x+\frac{1}{2})(x-3)$

$g(x) = x^2+x+1$
$\Delta = 1^2-4\times 1 \times 1 = -3 < 0$
donc pas de factorisation possible.

$(E_4): x^3-6x^2+9x=0$
$x(x^2-6x+9)=0$
$x=0$ ou $x^2-6x+9=0$
                        $(x-3)^2=0$
                            $x-3=0$
                            $x=3$
$S=\{0,3\}$

$(E_5): (x-1)(x+2)^2-x=-1$
$(x-1)(x+2)^2-x+1=0$
$(x-1)(x+2)^2-1(x-1)=0$
$(x-1)[(x+2)^2-1]=0$
$x-1=0$ ou $(x+2)^2-1=0$
$x=1$ ou $(x+2-1)(x+2+1)=0$
$x+1=0$ ou $x+3=0$
$x=-1$ ou $x=-3$
$S=\{1;-1;-3\}$

$(E_6): -3x^2+9x-6=0$
$x^2-3x+2=0$
$1^2-3\times 1+2=0$ donc $x_1=1$ est une racine évidente.
$x_1 \times x_2 = \frac{2}{1}$ donc $x_2=2$
$S=\{1,2\}$

$(E_7): \frac{2x^2+x-1}{x+1}=0$
VI: $x+1=0$ soit $x=-1$.
Racines du numérateur: $2x^2+x-1=0$
$2\times(-1)^2-1-1=0$ donc $x_1=-1$ est une racine évidente
$x_1 \times x_2 = -\frac{1}{2}$ d'où $x_2=\frac{1}{2}$
-1 est une valeur interdite donc $S=\{\frac{1}{2}\}$.

$P(x) = 3x^2-12x+1$
$= 3(x^2-4x)+1$
$= 3(x^2-2\times x \times 2 + 2^2-2^2)+1$
$= 3[(x-2)^2-4]+1$
$= 3(x-2)^2-12+1$
$= 3(x-2)^2-11$

$Q(x) = -5x^2+x-4$
$= -5(x^2-\frac{1}{5}x)-4$
$= -5(x^2-2\times x \times \frac{1}{10} + (\frac{1}{10})^2 - (\frac{1}{10})^2)-4$
$= -5[(x-\frac{1}{10})^2-\frac{1}{100}]-4$
$= -5(x-\frac{1}{10})^2+\frac{5}{100}-4$
$= -5(x-\frac{1}{10})^2+\frac{1}{20}-\frac{80}{20}$
$= -5(x-\frac{1}{10})^2-\frac{79}{20}$