BACCALAURÉAT BLANC N°2

1. En 2026, la population de la ville sera constituée des $95\%$ des habitants restants, auxquels on ajoute les $600$ nouveaux habitants.
$u_1 = 10~000 \times \left(1 - \dfrac{5}{100}\right) + 600$
$u_1 = 10~000 \times 0,95 + 600 = 9~500 + 600 = $ $10~100$.
La population en 2026 sera de $10~100$ habitants.

2. Diminuer de $5\%$ revient à multiplier par $1 - 0,05 = 0,95$.
L'année $n+1$, la population $u_{n+1}$ est donc égale à $95\%$ de la population de l'année $n$ ($u_n$), auxquels s'ajoutent $600$ habitants.
Pour tout entier naturel $n$, on a donc bien : $u_{n+1} = 0,95u_n + 600$.

3. Calculons les premiers termes de la suite : $u_0 = 10~000$ et $u_1 = 10~100$.
Calculons $u_2 = 0,95 \times u_1 + 600 = 0,95 \times 10~100 + 600 = 9~595 + 600 = 10~195$.
On remarque que $u_1 - u_0 = 10~100 - 10~000 = 100$.
Et $u_2 - u_1 = 10~195 - 10~100 = 95$.
Comme $u_1 - u_0 \neq u_2 - u_1$, la différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante.
On en déduit que la suite $(u_n)$ n'est pas arithmétique.

4. Calculons d'abord les premiers termes $v_0$ et $v_1$ :
$v_0 = u_0 - 12~000 = 10~000 - 12~000 = -2~000$.
$v_1 = u_1 - 12~000 = 10~100 - 12~000 = -1~900$.
Si la suite $(v_n)$ est géométrique, sa raison $q$ serait :
$q = \dfrac{v_1}{v_0} = \dfrac{-1~900}{-2~000} = 0,95$.
Montrons maintenant que pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1} - 0,95v_n = 0$ :
$v_{n+1} - 0,95v_n = (u_{n+1} - 12~000) - 0,95(u_n - 12~000)$
$v_{n+1} - 0,95v_n = (0,95u_n + 600 - 12~000) - 0,95u_n + 11~400$
$v_{n+1} - 0,95v_n = 0,95u_n - 11~400 - 0,95u_n + 11~400$
$v_{n+1} - 0,95v_n = 0$.
On en déduit que $v_{n+1} = 0,95v_n$ pour tout entier naturel $n$.
La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = 0,95$ et de premier terme $v_0 = -2~000$.

5. Puisque $(v_n)$ est une suite géométrique, on a pour tout entier naturel $n$ : $v_n = v_0 \times q^n$.
Donc $v_n = -2~000 \times 0,95^n$.

6. On sait que $v_n = u_n - 12~000$, donc $u_n = v_n + 12~000$.
En remplaçant $v_n$ par l'expression trouvée à la question précédente, on a :
$u_n = 12~000 - 2~000 \times 0,95^n$.

7. L'année 2035 correspond au rang $n = 10$ (car $2035 - 2025 = 10$).
On calcule donc $u_{10} = 12~000 - 2~000 \times 0,95^{10}$.
D'après le tableau de valeurs fourni, $0,95^{10} \approx 0,60$.
$u_{10} \approx 12~000 - 2~000 \times 0,60 = 12~000 - 1~200 = 10~800$.
La population prévisible en 2035 est d'environ $10~800$ habitants.

1. a) L'aire du rectangle $ABCD$ est de $49$ m$^2$.
On sait que l'aire d'un rectangle est Longueur $\times$ largeur, donc $x \times y = 49$.
Comme $x > 0$, on peut écrire $y = \dfrac{49}{x}$.
Le périmètre $P$ d'un rectangle est donné par la formule $2 \times (\text{Longueur} + \text{largeur})$, soit $P = 2x + 2y$.
En remplaçant $y$ par son expression en fonction de $x$, on obtient :
$P = 2x + 2\left(\dfrac{49}{x}\right) = $ $2x + \dfrac{98}{x}$.

b) Pour $x = 10$, on remplace dans la formule :
$P(10) = 2 \times 10 + \dfrac{98}{10} = 20 + 9,8 = $ $29,8 \text{ m}$.

2. La fonction $f$ est définie par $f(x) = 2x + \dfrac{98}{x}$.
En dérivant terme à terme, sachant que la dérivée de $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est $x \mapsto -\dfrac{1}{x^2}$, on obtient :
$f'(x) = 2 + 98 \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) = 2 - \dfrac{98}{x^2}$.
En mettant tout au même dénominateur (qui est $x^2$), on a :
$f'(x) = \dfrac{2x^2}{x^2} - \dfrac{98}{x^2} = $ $\dfrac{2x^2 - 98}{x^2}$.

3. Factorisons l'expression $2x^2 - 98$ :
$2x^2 - 98 = 2(x^2 - 49) = $ $2(x - 7)(x + 7)$.
On doit étudier le signe de cette expression sur $\left] 0 ; +\infty \right[$.
Sur l'intervalle $\left] 0 ; +\infty \right[$, on a $x > 0$, donc $x + 7 > 0$. De plus, $2 > 0$.
Le signe de $2x^2 - 98$ dépend donc uniquement du signe de $x - 7$.
On résout $x - 7 = 0$ donc $x = 7$.
Pour $x \in \left] 0 ; 7 \right[$, $x - 7 < 0$.
Pour $x \in \left] 7 ; +\infty \right[$, $x - 7 > 0$.
Puisque $x^2$ est toujours strictement positif sur $\left] 0 ; +\infty \right[$, le signe du quotient $f'(x)$ est exactement le même que celui du numérateur $2x^2 - 98$.

4. On en déduit le tableau de signe de $f'(x)$ et les variations de $f$ sur $\left] 0 ; +\infty \right[$ :

Détail du calcul du minimum : $f(7) = 2 \times 7 + \dfrac{98}{7} = 14 + 14 = 28$.

5. D'après le tableau de variation, le minimum de la fonction $f$ est atteint pour $x = 7$.
Ce minimum donne la plus petite valeur possible pour le périmètre.
Calculons la dimension $y$ correspondante : $y = \dfrac{49}{x} = \dfrac{49}{7} = 7$.
Pour que le périmètre soit minimal, il faut donc que $x = 7 \text{ m}$ et $y = 7 \text{ m}$.
Le rectangle est alors un carré.

1. L'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses s'obtient en résolvant l'équation $f(x) = 0$.
Soit $(2x+1)e^x = 0$.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.
Or, pour tout $x \in \mathbb{R}$, on sait que $e^x > 0$. L'exponentielle n'est jamais nulle.
L'équation se réduit donc à $2x+1 = 0$, soit $2x = -1$, et donc $x = -\dfrac{1}{2}$.
La courbe $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en un unique point de coordonnées $\left(-\dfrac{1}{2} ; 0\right)$.

2. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables.
Elle est de la forme $u \times v$ avec $u(x) = 2x+1$ et $v(x) = e^x$.
On a $u'(x) = 2$ et $v'(x) = e^x$.
En appliquant la formule $(uv)' = u'v + uv'$, on obtient :
$f'(x) = 2e^x + (2x+1)e^x$.
On factorise par $e^x$ : $f'(x) = e^x(2 + 2x + 1) = $ $(2x+3)e^x$.

3. Puisque pour tout réel $x$, $e^x > 0$, le signe de la dérivée $f'(x)$ est strictement identique au signe du facteur $(2x+3)$.
On résout $2x+3 = 0$, donc $2x = -3$, et $x = -\dfrac{3}{2}$.
La fonction affine $x \mapsto 2x+3$ est croissante (coefficient directeur positif $2 > 0$), elle est donc négative avant $-\dfrac{3}{2}$ et positive après.

On en conclut que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\left] -\infty ; -\dfrac{3}{2} \right]$ et strictement croissante sur $\left[ -\dfrac{3}{2} ; +\infty \right[$.

4. a. L'équation réduite de la tangente $T$ au point d'abscisse $a=0$ est donnée par la formule : $y = f'(0)(x - 0) + f(0)$.
Calculons $f(0)$ et $f'(0)$ :
$f(0) = (2 \times 0 + 1)e^0 = 1 \times 1 = 1$.
$f'(0) = (2 \times 0 + 3)e^0 = 3 \times 1 = 3$.
En remplaçant, on obtient l'équation de la tangente : $y = 3(x - 0) + 1$, soit $y = 3x + 1$.

b. En observant le graphique (reproduit ci-dessous avec des annotations), on constate que la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ (en bleu) est entièrement située au-dessus de sa tangente $T$ (en rouge).

Ceci signifie graphiquement que pour tout abscisse $x$, l'ordonnée de la courbe est supérieure ou égale à l'ordonnée de la tangente.
Autrement dit, pour tout réel $x$, on a $f(x) \ge y_T$.
En remplaçant par les expressions correspondantes, on en déduit l'inéquation : $(2x+1)e^x \ge 3x+1$.