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BACCALAURÉAT BLANC

Spécialité Première Générale - Session 2026

Durée : 2 heures Calculatrice interdite

EXERCICE 1 : QCM (5 pts)

Ce QCM comprend 10 questions. Une seule réponse est correcte. Barème: 0,5 point par bonne réponse.

Question 1

Sachant que $\sin(x) = \dfrac{1}{3}$ et que $x \in \left[ \dfrac{\pi}{2}; \pi \right]$, la valeur de $\cos(x)$ est :

a. $\dfrac{2}{3}$ b. $-\dfrac{2}{3}$ c. $-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ d. $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

Question 2

La forme simplifiée du nombre $B = \dfrac{\dfrac{3}{4}-1}{\dfrac{2}{5}}$ est :

a. $-\dfrac{5}{8}$ b. $\dfrac{5}{8}$ c. $-\dfrac{1}{10}$ d. $-\dfrac{2}{5}$

Question 3

Concernant la fonction carrée $h(x) = x^2$ sur $\mathbb{R}$, quelle affirmation est vraie ?

a. Elle est croissante sur $\mathbb{R}$. b. Elle est décroissante sur $\left] -\infty ; 0 \right]$. c. Elle est impaire. d. L'image de $-4$ est $-16$.

Question 4

On donne le tableau ci-dessous. $P(A \cap \bar{B})$ vaut :

$B$$\bar{B}$Total
$A$20
$\bar{A}$70
Total50250
a. 130 b. $0,13$ c. $0,65$ d. $0,52$

Question 5

Le prix d'un article subit une hausse de $20\%$ puis une baisse de $20\%$. Son prix final est :

a. Égal au prix initial b. Inférieur de $4\%$ au prix initial c. Inférieur de $40\%$ au prix initial d. Supérieur de $2\%$ au prix initial

Question 6

Soit $(v_n)$ définie par $v_{n+1} = -2v_n + 3n$ et $v_0 = -9$. Alors $v_1$ vaut :

a. 21 b. 18 c. $-18$ d. $-21$

Question 7

Si $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{u}$, alors $u$ est égal à :

a. $\dfrac{xy}{x+y}$ b. $\dfrac{x+y}{xy}$ c. $xy$ d. $x+y$

Question 8

La parabole représentant $f(x) = -x^2 + 2x - 3$ est :

a. $C_1$ b. $C_2$ c. $C_3$ d. $C_4$

Question 9

La valeur exacte de $\cos\left( \dfrac{31\pi}{6} \right)$ est :

a. $\dfrac{1}{2}$ b. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ c. $-\dfrac{1}{2}$ d. $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Question 10

La dérivée de $f(x) = \dfrac{-2x+3}{1+3x}$ est :

a. $f'(x) = -\dfrac{2}{3}$ b. $f'(x) = \dfrac{-11}{(1+3x)^2}$ c. $f'(x) = \dfrac{-12x+6}{(1+3x)^2}$ d. $f'(x) = \dfrac{11}{(1+3x)^2}$

Q1 : Réponse c.

cos sin x 1/3 π π/2 0
On utilise $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$. Donc $\cos^2(x) = 1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}$.
Puisque $x \in \left[ \dfrac{\pi}{2}; \pi \right]$ (2ème quadrant), le cosinus est négatif. $\cos(x) = -\sqrt{\dfrac{8}{9}} = -\dfrac{\sqrt{8}}{3} = $ $-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.

Q2 : Réponse a.
$B = \dfrac{\dfrac{3}{4}-\dfrac{4}{4}}{\dfrac{2}{5}} = \dfrac{-\dfrac{1}{4}}{\dfrac{2}{5}} = -\dfrac{1}{4} \times \dfrac{5}{2} = $ $-\dfrac{5}{8}$.

Q3 : Réponse b.
La fonction carrée est décroissante sur $\left] -\infty; 0 \right]$ et croissante sur $\left[ 0; +\infty \right[$. C'est une fonction paire. L'image de $-4$ est $(-4)^2 = 16$. L'affirmation vraie est la b.

Q4 : Réponse d.
Total $\bar{B} = 250 - 50 = 200$. On a $\bar{A} \cap \bar{B} = 70$, donc $A \cap \bar{B} = 200 - 70 = 130$.
La probabilité est $P(A \cap \bar{B}) = \dfrac{130}{250} = $ $0,52$.

Q5 : Réponse b.
Coefficient multiplicateur : $\left(1 + \dfrac{20}{100}\right) \times \left(1 - \dfrac{20}{100}\right) = 1,2 \times 0,8 = 0,96$. Taux global : $0,96 - 1 = -0,04$, soit une baisse de $4\%$.

Q6 : Réponse b.
Pour $n=0$, $v_1 = -2v_0 + 3 \times 0 = -2 \times (-9) = $ $18$.

Q7 : Réponse a.
Mise au même dénominateur : $\dfrac{y}{xy} + \dfrac{x}{xy} = \dfrac{x+y}{xy} = \dfrac{1}{u}$. En inversant, on obtient $u = $ $\dfrac{xy}{x+y}$.

Q8 : Réponse c.
Le coefficient de $x^2$ est $-1 < 0$, la parabole est orientée vers le bas. Le sommet a pour abscisse $x = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-2}{-2} = 1$. L'ordonnée est $f(1) = -1 + 2 - 3 = -2$. Le sommet est $(1; -2)$, c'est la courbe $C_3$.

Q9 : Réponse d.

cos sin π/6 7π/6 √3/2 -√3/2 0
$\dfrac{31\pi}{6} = \dfrac{(24 + 7)\pi}{6} = 4\pi + \dfrac{7\pi}{6}$. Donc $\cos\left(\dfrac{31\pi}{6}\right) = \cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = $ $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Q10 : Réponse b.
Quotient $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x) = -2x+3$ et $v(x) = 1+3x$. $u'(x) = -2$, $v'(x) = 3$.
$f'(x) = \dfrac{-2(1+3x) - 3(-2x+3)}{(1+3x)^2} = \dfrac{-2 - 6x + 6x - 9}{(1+3x)^2} = $ $\dfrac{-11}{(1+3x)^2}$.

Exercice 2 : Étude de fonctions (12 points)

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = -2x^2 + 4x + 7 \quad \text{et} \quad g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$$

La figure ci-dessous présente les courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, avec $d$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $2$, et $d'$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point $B$ d'abscisse $4$.

Lectures graphiques
  1. À l'aide du graphique, déterminer le nombre dérivé $f'(2)$.
  2. Sachant que la droite $d'$ passe par le point de coordonnées $(3 ; -3)$ et par le point $B(4 ; 6)$, déterminer le nombre dérivé $g'(4)$.
Partie A : Étude de la fonction f
  1. Déterminer la forme canonique de la fonction $f$, puis en déduire le tableau de variation de $f$.
  2. Résoudre par le calcul l'inéquation $f(x) < 1$.
Partie B : Fonction g et tangente
  1. Déterminer l'expression de la fonction dérivée $g'$.
  2. En déduire que la tangente $T$ à la courbe de $g$ au point d'abscisse $2$ a pour équation : $y = -3x + 10$.
  3. Tracer cette tangente dans le repère.
Partie C : Parabole et tangentes
  1. Déterminer par le calcul les coordonnées des points d'intersection entre la parabole représentant la fonction $f$ et la tangente $T$.
  2. Démontrer qu'au point de la parabole d'abscisse $\dfrac{7}{4}$, la tangente est parallèle à la droite $T$.

Lectures graphiques

1. $f'(2)$ est le coefficient directeur de la tangente $d$ en $A(2 ; 7)$. Comme $d$ passe par le point de coordonnées $(3 ; 3)$, on a $m = \dfrac{3 - 7}{3 - 2} = \dfrac{-4}{1} = -4$. Donc $f'(2) = -4$.

2. $d'$ est la tangente à $\mathcal{C}_g$ en $B(4 ; 6)$ et passe par $(3 ; -3)$. $m' = \dfrac{6 - (-3)}{4 - 3} = \dfrac{9}{1} = 9$. Donc $g'(4) = 9$.

Partie A

1. Pour $f(x) = -2x^2 + 4x + 7$, on a $a = -2, b = 4$. Le sommet a pour coordonnées $\alpha = \dfrac{-4}{2 \times (-2)} = 1$ et $\beta = f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 7 = 9$.
Forme canonique : $f(x) = -2(x - 1)^2 + 9$.
Comme $a = -2 < 0$, la parabole est orientée vers le bas. $f$ est croissante puis décroissante.

$x$
$-\infty$
$1$
$+\infty$
$f'(x)$
$+$
$0$
$-$
$f$
$9$

2. $f(x) < 1$ donc $-2x^2 + 4x + 7 < 1$ donc $-2x^2 + 4x + 6 < 0$. En divisant par $-2$, on a $x^2 - 2x - 3 > 0$. Les racines évidentes de $x^2 - 2x - 3 = 0$ sont $x_1 = -1$ et $x_2 = 3$. L'ensemble des solutions est $S = \left] -\infty ; -1 \right[ \cup \left] 3 ; +\infty \right[$.

Partie B

1. $g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ donc $g'(x) = 3x^2 - 12x + 9$.

2. $g(2) = 2^3 - 6(2^2) + 9(2) + 2 = 8 - 24 + 18 + 2 = 4$.
$g'(2) = 3(2^2) - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3$.
L'équation de $T$ est $y = g'(2)(x - 2) + g(2) = -3(x - 2) + 4 = $ $-3x + 10$.

3. Tracé de la tangente $T$ : la droite passe par $(2 ; 4)$ et $(3 ; 1)$.

Partie C

1. On résout $f(x) = -3x + 10$ donc $-2x^2 + 4x + 7 = -3x + 10$ donc $-2x^2 + 7x - 3 = 0$.
$\Delta = 7^2 - 4(-2)(-3) = 49 - 24 = 25$.
$x_1 = \dfrac{-7 - 5}{-4} = 3$ et $x_2 = \dfrac{-7 + 5}{-4} = \dfrac{1}{2}$.
Pour $x=3$, $y = -3(3) + 10 = 1$. Pour $x=\dfrac{1}{2}$, $y = -3\left(\dfrac{1}{2}\right) + 10 = \dfrac{17}{2}$.
Les points d'intersection sont $(3 ; 1)$ et $\left(\dfrac{1}{2} ; \dfrac{17}{2}\right)$.

2. $f'(x) = -4x + 4$. Calculons le coefficient directeur en $x = \dfrac{7}{4}$ : $f'\left(\dfrac{7}{4}\right) = -4\left(\dfrac{7}{4}\right) + 4 = -7 + 4 = -3$. Ce coefficient est identique à celui de $T$, donc les tangentes sont parallèles.

Exercice 3 : Probabilités (8 points)

Un restaurant propose deux types de dessert : macarons ($M$) ou tarte tatin ($T$).
$50\%$ des clients choisissent les macarons ; $30\%$ la tarte tatin ; $20\%$ aucun dessert ($S$).
Parmi ceux prenant des macarons, $80\%$ prennent un café ($C$).
Parmi ceux prenant une tarte, $60\%$ prennent un café.
Parmi ceux sans dessert, $90\%$ prennent un café.

  1. Donner la valeur de $P(T)$ et celle de $P_T(C)$.
  2. Construire un arbre pondéré représentant la situation.
  3. (a) Définir l'événement $M \cap C$ et calculer sa probabilité.
    (b) Montrer que la probabilité qu'un client prenne un café est $P(C) = 0,76$.
  4. Un client prend un café. Quelle est la probabilité qu'il ait mangé des macarons ? (Fraction irréductible).

1. D'après l'énoncé, $P(T) = 0,3$ et $P_T(C) = 0,6$.

2. Arbre pondéré :

$P(M)=0,5$
$P(T)=0,3$
$P(S)=0,2$
$M$
$T$
$S$
$P_M(C)=0,8$
$P_M(\bar{C})=0,2$
$C$
$\bar{C}$
$P_T(C)=0,6$
$P_T(\bar{C})=0,4$
$C$
$\bar{C}$
$P_S(C)=0,9$
$P_S(\bar{C})=0,1$
$C$
$\bar{C}$

3. (a) $M \cap C$ représente l'événement : « Le client choisit des macarons et prend un café ».
Sa probabilité est : $P(M \cap C) = P(M) \times P_M(C) = 0,5 \times 0,8 = $ $0,4$.

3. (b) D'après la formule des probabilités totales :
$P(C) = P(M \cap C) + P(T \cap C) + P(S \cap C)$
$P(C) = 0,4 + (0,3 \times 0,6) + (0,2 \times 0,9) = 0,4 + 0,18 + 0,18 = $ $0,76$.

4. On cherche la probabilité conditionnelle $P_C(M)$ :
$P_C(M) = \dfrac{P(M \cap C)}{P(C)} = \dfrac{0,4}{0,76} = \dfrac{40}{76}$. En simplifiant par 4, on obtient $P_C(M) = \dfrac{10}{19}$.

Exercice 4 : Suites numériques (10 points)

Une entreprise fait l'acquisition d'une machine outil d'une valeur de $10~000$ € au 1er janvier 2024. Le service comptable étudie deux aspects financiers liés à cet investissement.

Partie A : Dépréciation de la machine

On estime que cet équipement perd $20\%$ de sa valeur chaque année. On note $u_n$ la valeur de la machine $n$ années après son achat. On a donc $u_0 = 10~000$.

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
  2. Justifier que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique et préciser sa raison $q$.
  3. Exprimer le terme général $u_n$ en fonction de $n$.
  4. Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$ sur $\mathbb{N}$.
  5. À partir de quelle année la valeur de la machine sera-t-elle strictement inférieure à $4~000$ € ?
    Indication : On donne le tableau de valeurs suivant :
    $n$012345678
    $0,8^n$10,80,640,5120,40960,32770,26210,20970,1678
  6. Calculer la somme $S = u_1 + u_2 + \dots + u_8$.
Partie B : Frais de maintenance

En plus de la perte de valeur, la machine engendre des frais de maintenance. La première année (en 2024), ces frais s'élèvent à $500$ €. On prévoit que ces frais augmentent de $150$ € chaque année. On note $v_n$ le montant des frais de maintenance lors de la $n$-ième année. On a donc $v_1 = 500$.

  1. Calculer $v_2$ et $v_3$.
  2. Justifier que la suite $(v_n)$ est une suite arithmétique et préciser sa raison $r$.
  3. Exprimer le terme général $v_n$ en fonction de $n$.
  4. Calculer le montant total des frais de maintenance cumulés sur les huit premières années : $T = v_1 + v_2 + \dots + v_8$.

Partie A : Dépréciation de la machine

1. Perdre $20\%$ revient à multiplier par $1 - \dfrac{20}{100} = 0,8$.
$u_1 = 10~000 \times 0,8 = $ $8~000$ €.
$u_2 = 8~000 \times 0,8 = $ $6~400$ €.

2. On a pour tout $n$, $u_{n+1} = u_n \times 0,8$. $(u_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $u_0 = 10~000$ et de raison $q = 0,8$.

3. $u_n = u_0 \times q^n$, donc $u_n = 10~000 \times 0,8^n$.

4. $u_{n+1} - u_n = 10~000 \times 0,8^{n+1} - 10~000 \times 0,8^n = 10~000 \times 0,8^n \times (0,8 - 1) = -2~000 \times 0,8^n$.
Comme $0,8^n > 0$ et $-2~000 < 0$, alors $u_{n+1} - u_n < 0$. Donc la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

5. On cherche $n$ tel que $u_n < 4~000$ donc $10~000 \times 0,8^n < 4~000$ donc $0,8^n < 0,4$.
D'après le tableau, $0,8^4 = 0,4096$ et $0,8^5 = 0,3277$. Le seuil est atteint pour $n = 5$. L'année est donc $2024 + 5 = $ $2029$.

6. $S = u_1 \times \dfrac{1 - q^8}{1 - q} = 8~000 \times \dfrac{1 - 0,8^8}{1 - 0,8} = 8~000 \times \dfrac{1 - 0,1678}{0,2} = 40~000 \times 0,8322 = $ $33~288$ €.

Partie B : Frais de maintenance

1. $v_2 = 500 + 150 = $ $650$ €.
$v_3 = 650 + 150 = $ $800$ €.

2. On a pour tout entier $n \ge 1$, $v_{n+1} = v_n + 150$. $(v_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $v_1 = 500$ et de raison $r = 150$.

3. $v_n = v_1 + (n - 1)r = 500 + 150(n - 1) = $ $150n + 350$.

4. Somme $T = 8 \times \dfrac{v_1 + v_8}{2}$.
Calculons $v_8 = 500 + 150 \times 7 = 1~550$.
$T = 8 \times \dfrac{500 + 1~550}{2} = 4 \times 2~050 = $ $8~200$ €.