Épreuve Anticipée de MATHÉMATIQUES
Voie Générale - Enseignement de Spécialité - Sujet 2
PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 pts)
Question 1
L'expression $\sqrt{32} + \sqrt{50} - \sqrt{2}$ est égale à :
Question 2
Le nombre $N = \dfrac{\sqrt{18} \times \sqrt{6}}{\sqrt{3}}$ est égal à :
Question 3
Le résultat du calcul $\dfrac{3}{5} + \dfrac{7}{10} \times \dfrac{2}{3}$ est :
Question 4
L'expression $\dfrac{1}{2} - \left( \dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{2} \right)$ est égale à :
Question 5
Un article à $150$ € baisse de $20\%$. Son nouveau prix est :
Question 6
Une population de $500$ individus augmente de $12\%$. Elle devient :
Question 7
La vitesse de $54$ km/h en mètres par seconde (m/s) est :
Question 8
Un volume de $250$ cm³ est équivalent à :
Question 9
L'expression $A = \dfrac{10^4 \times 10^{-6}}{10^{-3}}$ est égale à :
Question 10
L'écriture scientifique de $0,0003 \times 10^{-2}$ est :
Question 11
L'ensemble $S$ des solutions de $|x - 1| = 4$ est :
Question 12
L'ensemble des réels $x$ tels que $|x + 3| \le 2$ est :
Q1 : Réponse a.
On simplifie chaque racine : $\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$ et $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$.
L'expression devient : $4\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 1\sqrt{2} = \left( 4 + 5 - 1 \right) \sqrt{2} = $ $8\sqrt{2}$.
Q2 : Réponse a.
On regroupe : $N = \sqrt{\dfrac{18 \times 6}{3}}$. On simplifie d'abord l'intérieur : $\dfrac{108}{3} = 36$.
Donc $N = \sqrt{36} = $ $6$.
Q3 : Réponse a.
Priorité à la multiplication : $\dfrac{7}{10} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{14}{30} = \dfrac{7}{15}$.
On additionne avec le même dénominateur : $\dfrac{3 \times 3}{5 \times 3} + \dfrac{7}{15} = \dfrac{9}{15} + \dfrac{7}{15} = $ $\dfrac{16}{15}$.
Q4 : Réponse a.
Inversion pour la division : $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{2} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$.
Différence : $\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{10} = \dfrac{5}{10} - \dfrac{3}{10} = \dfrac{2}{10} = $ $\dfrac{1}{5}$.
Q5 : Réponse a.
Baisse de $20\%$ signifie multiplier par $1 - 0,2 = 0,8$.
Nouveau prix : $150 \times 0,8 = $ $120$ €.
Q6 : Réponse a.
Hausse de $12\%$ signifie multiplier par $1 + 0,12 = 1,12$.
$500 \times 1,12 = 500 + 60 = $ $560$.
Q7 : Réponse a.
On divise par $3,6$ pour passer en m/s : $\dfrac{54}{3,6} = \dfrac{540}{36} = 15$.
Résultat : $15$ m/s.
Q8 : Réponse d.
$1$ dm³ $= 1$ L. Donc $250$ cm³ $= 0,250$ dm³ $= 0,25$ L.
$0,25$ L $= 25$ cL. Les réponses a et c sont correctes.
Q9 : Réponse d.
$A = \dfrac{10^{4-6}}{10^{-3}} = \dfrac{10^{-2}}{10^{-3}} = 10^{-2 - (-3)} = 10^1 = 10$.
Les réponses a et b sont valides.
Q10 : Réponse a.
$0,0003 = 3 \times 10^{-4}$.
Donc $3 \times 10^{-4} \times 10^{-2} = $ $3 \times 10^{-6}$.
Q11 : Réponse a.
On résout $x - 1 = 4$ (donne $x = 5$) ou $x - 1 = -4$ (donne $x = -3$).
$S = \{-3 ; 5\}$.
Q12 : Réponse a.
$|x+3| \le 2 \iff -2 \le x + 3 \le 2$.
En retranchant 3 : $-5 \le x \le -1$. Soit $[-5 ; -1]$.
DEUXIÈME PARTIE (14 pts)
Exercice 1 : Étude de deux contrats (7 points)
Un jeune diplômé se voit proposer deux contrats d'embauche avec un salaire initial de $2~000$ € au 1er janvier 2024.
Le salaire augmente de $100$ € chaque année au 1er janvier. On note $u_n$ le salaire lors de l'année $2024 + n$.
- Préciser la nature de la suite $(u_n)$ et sa raison $r$.
- Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
- Calculer le salaire lors de la onzième année ($u_{10}$).
- Calculer la somme totale $S$ des salaires perçus durant les 11 premières années ($S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$).
Le salaire augmente de $10\%$ chaque année au 1er janvier. On note $v_n$ le salaire lors de l'année $2024 + n$.
- Préciser la nature de la suite $(v_n)$ et sa raison $q$.
- Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
- Calculer la somme des salaires sur les 3 premières années : $T = v_0 + v_1 + v_2$.
Contrat A : Suite arithmétique
1. Nature : Chaque année on ajoute $100$. $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0 = 2~000$ et de raison $r = 100$.
2. Expression : $u_n = u_0 + n \times r$. On a : $u_n = 2~000 + 100n$.
3. Onzième année ($n=10$) : $u_{10} = 2~000 + 100 \times 10 = $ $3~000$ €.
4. Somme $S$ : $S = 11 \times \dfrac{u_0 + u_{10}}{2} = 11 \times \dfrac{2~000 + 3~000}{2} = 11 \times 2~500 = $ $27~500$ €.
Contrat B : Suite géométrique
1. Nature : Hausse de $10\% \implies \times 1,1$. $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0 = 2~000$ et de raison $q = 1,1$.
2. Expression : $v_n = v_0 \times q^n$. On a : $v_n = 2~000 \times 1,1^n$.
3. Somme $T$ (3 ans) : $v_0 = 2000$ ; $v_1 = 2200$ ; $v_2 = 2420$.
$T = 2000 + 2200 + 2420 = $ $6~620$ €.
Exercice 2 : Coût moyen de production (7 points)
Le coût moyen de production $f(x)$ est défini comme le rapport entre le coût total de production $C(x)$ et la quantité $x$ d'unités produites. Il permet d'évaluer la rentabilité par unité fabriquée.
Pour une production $x$ en tonnes ($x \in \left] 0 ; 10 \right]$), ce coût (en k€) est modélisé par :
$$f(x) = \dfrac{x^2 - 6x + 9}{\sqrt{x}} + 2$$
- Calculer le coût moyen pour $1$ tonne, puis pour $4$ tonnes.
- Montrer que pour tout $x \in \left] 0 ; 10 \right]$, la dérivée de $f$ est :
$$f'(x) = \dfrac{3x^2 - 6x - 9}{2x\sqrt{x}}$$ - Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $\left] 0 ; 10 \right]$ et dresser le tableau de variation de $f$.
- Déterminer l'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $x = 1$.
- À l'aide de $T$, estimer le coût moyen pour une production de $1,1$ tonne.
- Pour quelle quantité le coût moyen est-il minimal ? Préciser ce coût.
- Déterminer par le calcul les quantités de production pour lesquelles le coût moyen est de $2$ k€.
- En utilisant la définition $f(x) = \dfrac{C(x)}{x}$, exprimer le coût total $C(x)$ en fonction de $x$. Calculer alors le coût total pour $9$ tonnes produites.
1. Valeurs : $f(1) = \dfrac{1 - 6 + 9}{1} + 2 = $ $6$ k€.
$f(4) = \dfrac{16 - 24 + 9}{2} + 2 = 0,5 + 2 = $ $2,5$ k€.
2. Dérivée : On dérive le quotient $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x^2-6x+9$ et $v(x)=\sqrt{x}$.
$f'(x) = \dfrac{(2x-6)\sqrt{x} - (x^2-6x+9)\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{x} = \dfrac{2\sqrt{x}(2x-6)\sqrt{x} - (x^2-6x+9)}{2x\sqrt{x}} = $ $\dfrac{3x^2 - 6x - 9}{2x\sqrt{x}}$.
3. Variations : $\Delta = 36 - 4(3)(-9) = 144 = 12^2$. Racines du numérateur : $-1$ et $3$. Sur $\left] 0 ; 10 \right]$, $f'$ est négative sur $]0 ; 3]$ et positive sur $[3 ; 10]$.
4. Tangente : $f(1) = 6$ et $f'(1) = \dfrac{3-6-9}{2} = -6$.
$T : y = -6(x-1) + 6 \implies $ $y = -6x + 12$.
5. Approx : $f(1,1) \approx -6(1,1) + 12 = -6,6 + 12 = $ $5,4$ k€.
6. Min : Le coût est minimal pour $x = 3$ tonnes. Ce coût est de $2$ k€.
7. Coût de 2 k€ : $f(x) = 2 \iff \dfrac{(x-3)^2}{\sqrt{x}} = 0 \iff (x-3)^2 = 0 \iff $ $x = 3$ tonnes.
8. Coût total : $C(x) = x \times f(x) = \dfrac{x(x^2-6x+9)}{\sqrt{x}} + 2x = \sqrt{x}(x^2-6x+9) + 2x$.
Pour $x=9$ : $C(9) = \sqrt{9}(81-54+9) + 18 = 3 \times 36 + 18 = 108 + 18 = $ $126$ k€.