Épreuve Anticipée de MATHÉMATIQUES
Voie Générale - Enseignement de Spécialité - Sujet 1
PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 pts)
Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.
Question 1
On considère l'arbre de probabilité ci-contre. On cherche la probabilité de l'évènement $B$. On a :
Question 2
Une tablette coûte $200$ euros. Son prix diminue de $30\%$. Le prix après cette diminution est :
Question 3
Une réduction de $50\%$ suivie d'une augmentation de $50\%$ équivaut à :
Question 4
Dans un lycée, le quart des élèves sont internes, parmi eux, la moitié sont des filles. La proportion des filles internes par rapport à l'ensemble des élèves du lycée est égale à :
Question 5
On considère le nombre $N = \dfrac{10^7}{5^2}$. On a :
Question 6
Un appareil a besoin d'une énergie de $7,5 \times 10^6$ Joules (J) pour se mettre en route. À combien de kiloWatts-heure (kWh) cela correspond-il ? (Donnée : $1 \text{ kWh} = 3,6 \times 10^6 \text{ J}$)
Question 7
Le plan est muni d'un repère orthogonal. On note $d$ la droite passant par les points $A(0;-1)$ et $B(2;5)$. Le coefficient directeur de la droite $d$ est égal à :
Question 8
On a représenté ci-contre une droite $D$. Parmi les quatre équations ci-dessous, la seule susceptible de représenter $D$ est :
- a. $2x - y = 0$
- b. $2x + y + 1 = 0$
- c. $y = x^2 - (x+1)^2 + 1$
- d. $y = 2x - 1$
Question 9
On note $S$ l'ensemble des solutions de l'équation $x^2 = 10$ sur $\mathbb{R}$. On a :
Question 10
La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(3x-15)(x+2)$ admet pour tableau de signes :
Question 11
L'expression développée de $(2x + 0,5)^2$ est :
Question 12
Lorsqu'un point mobile suit une trajectoire circulaire de rayon $R$ en mètre, son accélération centripète est donnée par la relation $a = \dfrac{v^{2}}{R}$, où $a, v$ et $R$ sont des réels strictement positifs. L'expression de la vitesse $v$ en fonction de $a$ et $R$ est :
Q1 : Réponse a.
On utilise la formule des probabilités totales : $p(B) = p(A \cap B) + p(\bar{A} \cap B)$.
On a $p(A)=0,4$ donc $p(\bar{A})=1-0,4=0,6$.
De plus, $p_A(B)=0,3$ et $p_{\bar{A}}(B)=1-p_{\bar{A}}(\bar{B})=1-0,9=0,1$.
Donc $p(B) = 0,4 \times 0,3 + 0,6 \times 0,1 = 0,12 + 0,06 =$ $0,18$.
Q2 : Réponse a.
Diminuer de $30\%$ revient à multiplier par son coefficient multiplicateur $CM = 1 - 0,3 = 0,7$.
$200 \times 0,7 =$ $140$ euros.
Q3 : Réponse b.
On note $t_1 = -0,5$ et $t_2 = 0,5$ les taux d'évolution successifs.
Le taux d'évolution globale $t_g$ vérifie la relation : $1 + t_g = (1 + t_1)(1 + t_2)$.
$1 + t_g = (1 - 0,5)(1 + 0,5) = 0,5 \times 1,5 = 0,75$.
On en déduit $t_g = 0,75 - 1 = -0,25$, soit une réduction de $25\%$.
Q4 : Réponse b.
La proportion globale est le produit des proportions : $p = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$.
Or $\dfrac{1}{8} = 0,125$, soit une proportion de $12,5\%$.
Q5 : Réponse d.
$N = \dfrac{10^7}{5^2} = \dfrac{(2 \times 5)^7}{5^2} = \dfrac{2^7 \times 5^7}{5^2} = 2^7 \times 5^5 = 128 \times 3~125 = 400~000$.
En notation scientifique, on a donc $N = $ $4 \times 10^5$.
Q6 : Réponse b.
On divise l'énergie totale par celle d'un kWh : $E = \dfrac{7,5 \times 10^6}{3,6 \times 10^6} = \dfrac{7,5}{3,6} = \dfrac{75}{36} = \dfrac{25}{12} \approx $ $2,08 \text{ kWh}$.
Q7 : Réponse c.
On applique la formule du coefficient directeur $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{5 - (-1)}{2 - 0} = \dfrac{6}{2} =$ $3$.
Q8 : Réponse c.
Simplifions l'expression c : $y = x^2 - (x+1)^2 + 1 = x^2 - (x^2 + 2x + 1) + 1 = x^2 - x^2 - 2x - 1 + 1 = -2x$.
C'est l'équation d'une droite passant par l'origine ($0;0$) avec un coefficient directeur négatif, ce qui correspond au graphique.
Q9 : Réponse c.
L'équation $x^2 = k$ avec $k > 0$ possède deux solutions réelles : $\sqrt{k}$ et $-\sqrt{k}$.
Ici $k=10$, donc l'ensemble est $S = \{-\sqrt{10} ; \sqrt{10}\}$.
Q10 : Réponse a.
Le trinôme s'annule pour $x=5$ et $x=-2$. Le coefficient dominant est $3 \times 1 = 3 > 0$.
La parabole est tournée vers le haut, elle est donc positive à l'extérieur des racines, ce qui correspond à la Proposition a.
Q11 : Réponse a.
On utilise l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ avec $a = 2x$ et $b = 0,5$.
$(2x + 0,5)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 0,5 + 0,5^2 = $ $4x^2 + x + 0,25$.
Q12 : Réponse b.
$a = \dfrac{v^2}{R} \iff v^2 = a \times R$.
Comme la vitesse $v$ est strictement positive, on en déduit que $v = $ $\sqrt{aR}$.
DEUXIÈME PARTIE (14 pts)
Exercice 1 (7 points)
En 2020, une ville comptait 10 000 habitants. On modélise l'évolution du nombre d'habitants de cette ville par la suite $(u_n)$ définie ainsi :
où $u_n$ représente le nombre d'habitants pour l'année $2020 + n$.
- Indiquez ce que représente $u_1$ et calculez sa valeur.
- On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 3~750$.
- Déterminer $v_0$.
- Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1} = 1,08 v_n$.
- En déduire la nature de la suite $(v_n)$.
- Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
- En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 6~250 \times 1,08^n + 3~750$.
- Le tableau ci-contre extrait d'une feuille automatisée de calcul a été obtenu par recopie vers le bas après avoir saisi la formule suivante dans la cellule B2.
= 6250 * 1,08 ^ A2 + 3750
la municipalité envisage d'ouvrir une nouvelle école maternelle dès que la population atteindra 19 000 habitants.
la construction d'un tel établissement nécessitant 2 ans déterminer l'année à partir de laquelle la construction de l'école doit commencer.
aide au calcul :
$10~000 - 3~750 = 6~250$ ;
$1,08 \times 4~050 = 4~374$ ;
$\dfrac{4~050}{1,08} = 3~750$ ;
$3~750 \times 1,08 = 4~050$.
| A | B | |
|---|---|---|
| 1 | $n$ | $u_n$ |
| 2 | 0 | 10000,00000 |
| 3 | 1 | 10500,00000 |
| 4 | 2 | 11040,00000 |
| 5 | 3 | 11623,20000 |
| 6 | 4 | 12253,05600 |
| 7 | 5 | 12933,30048 |
| 8 | 6 | 13667,96452 |
| 9 | 7 | 14461,40168 |
| 10 | 8 | 15318,31381 |
| 11 | 9 | 16243,77892 |
| 12 | 10 | 17243,28123 |
| 13 | 11 | 18322,74373 |
| 14 | 12 | 19488,56323 |
| 15 | 13 | 20747,64829 |
| 16 | 14 | 22107,46015 |
| 17 | 15 | 23576,05696 |
| 18 | 16 | 25162,14152 |
| 19 | 17 | 26875,11284 |
| 20 | 18 | 28725,12187 |
| 21 | 19 | 30723,13162 |
1. Interprétation et calcul :
$u_1$ représente le nombre d'habitants de la ville en 2021.
$u_1 = 1,08 \times 10~000 - 300 = 10~800 - 300 = $ $10~500$.
2.a. Premier terme :
$v_0 = u_0 - 3~750 = 10~000 - 3~750 = $ $6~250$.
2.b. Relation de récurrence :
Calculons $v_1$ : on sait que $u_1 = 10~500$, donc $v_1 = u_1 - 3~750 = 10~500 - 3~750 = 6~750$.
On observe que $\dfrac{v_1}{v_0} = \dfrac{6~750}{6~250} = 1,08$.
Pour le cas général, étudions la différence $v_{n+1} - 1,08 v_n$ :
$v_{n+1} - 1,08 v_n = (u_{n+1} - 3~750) - 1,08(u_n - 3~750)$
$v_{n+1} - 1,08 v_n = (1,08 u_n - 300 - 3~750) - (1,08 u_n - 1,08 \times 3~750)$
$v_{n+1} - 1,08 v_n = (1,08 u_n - 4~050) - (1,08 u_n - 4~050) = $ $0$.
On a donc bien $v_{n+1} = 1,08 v_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
2.c. Nature :
Comme $v_{n+1} = 1,08 v_n$, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 1,08$ et de premier terme $v_0 = 6~250$.
2.d. Terme général :
$v_n = v_0 \times q^n = $ $6~250 \times 1,08^n$.
2.e. Expression de $u_n$ :
Comme $v_n = u_n - 3~750$, on en déduit que $u_n = v_n + 3~750 = $ $6~250 \times 1,08^n + 3~750$.
3. Seuil et travaux :
D'après le tableur, $u_{11} \approx 18~323$ et $u_{12} \approx 19~489$. La population dépasse 19 000 habitants pour $n=12$, soit en $2020 + 12 = 2032$.
Les travaux devant commencer 2 ans avant, la municipalité doit débuter la construction en $2032 - 2 = $ 2030.
Exercice 2 (7 points)
Le plan est muni d'un repère orthogonal.
On considère la fonction $P$ définie sur l'intervalle $[-5; 3]$ par : $P(x) = 2x^2 + x - 10$.
- a. Déterminer les racines de $P$.
b. En déduire l'axe de symétrie de la parabole d'équation $y = P(x)$. - Établir le tableau de signe de la fonction $P$ sur l'intervalle $[-5; 3]$.
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5; 3]$ dont on donne la courbe représentative $C_f$ ci-dessous.
La tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point $A$ d’abscisse 2 est horizontale.
- Donner la valeur du nombre dérivé $f'(2)$.
- Résoudre, avec la précision permise par le graphique, l’inéquation $f'(x) < 0$.
- On sait que la fonction $f$ a pour expression sur l’intervalle $[-5;3]$ :
$f(x) = (4x^2 - 14x + 8)e^{0,5x}$.
Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[-5;3]$, on a $f'(x) = P(x)e^{0,5x}$. - En utilisant l'étude de la partie A, dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-5;3]$. (Il n’est pas demandé de calculer les images).
Partie A
1.a. Racines : $\Delta = 1^2 - 4(2)(-10) = 81 = 9^2$.
$x_1 = \dfrac{-1-9}{4} = -2,5$ et $x_2 = \dfrac{-1+9}{4} = 2$. Les racines sont $-2,5$ et $2$.
1.b. Axe : $x = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-1}{4} = $ $-0,25$.
2. Signe : $a=2 > 0$, donc négatif entre les racines.
Partie B
1. Nombre dérivé : La tangente est horizontale en $x=2$, donc $f'(2) = 0$.
2. Inéquation : $f'(x) < 0$ correspond aux zones où la fonction $f$ est strictement décroissante.
Graphiquement : $S = ]-2,5 ; 2[$.
3. Dérivée : $u(x) = 4x^2 - 14x + 8 \implies u'(x) = 8x - 14$.
$v(x) = e^{0,5x} \implies v'(x) = 0,5 e^{0,5x}$.
$f'(x) = (8x - 14)e^{0,5x} + (4x^2 - 14x + 8) \times 0,5 e^{0,5x}$
$f'(x) = e^{0,5x} [8x - 14 + 2x^2 - 7x + 4] = $ $P(x)e^{0,5x}$.
4. Variations :