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Épreuve Anticipée de MATHÉMATIQUES

Voie Générale - Enseignement de Spécialité - Sujet 0

Durée : 2 heures Calculatrice interdite

PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 pts)

Question 1

L'inverse du double de $5$ est égal à :

a. $\dfrac{2}{5}$ b. $\dfrac{1}{10}$ c. $\dfrac{5}{2}$ d. $10$

Question 2

On considère la relation $F = a + \dfrac{b}{cd}$. Lorsque $a = \dfrac{1}{2}$, $b = 3$, $c = 4$ et $d = -\dfrac{1}{4}$, la valeur de $F$ est égale à :

a. $-\dfrac{5}{2}$ b. $-\dfrac{3}{2}$ c. $\dfrac{5}{2}$ d. $\dfrac{3}{2}$

Question 3

Le prix d'un article est multiplié par $0,975$. Cela signifie que le prix de cet article a connu :

  • a. une baisse de $2,5\%$
  • b. une augmentation de $97,5\%$
  • c. une baisse de $25\%$
  • d. une augmentation de $0,975\%$

Question 4

On multiplie le prix $P$ d'un article par $1,1$ puis on multiplie le résultat obtenu $P'$ par $0,9$ pour obtenir un prix final $P_1$. On a alors :

a. $P_1 = P$ b. $P_1 > P$ c. $P_1 < P$ d. Cela dépend de $P$

Question 5

On lance un dé truqué à quatre faces. Les probabilités d'obtenir les faces sont données ci-dessous :

Face numéro 1Face numéro 2Face numéro 3Face numéro 4
$0,5$$\dfrac{1}{6}$$0,2$$x$
a. $x = \dfrac{2}{15}$ b. $x = \dfrac{2}{3}$ c. $x = 0,4$ d. $x = 0,1$

Question 6

Trois réels strictement positifs $u, x$ et $y$ vérifient la relation $\dfrac{1}{u} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$. On a alors :

a. $u = \dfrac{xy}{x+y}$ b. $u = \dfrac{x+y}{xy}$ c. $u = xy$ d. $u = x+y$

Question 7

On a représenté ci-contre la parabole d'équation $y = x^{2}$. L'inéquation $x^2 \ge 10$ est équivalente à :

  • a. $-\sqrt{10} \le x \le \sqrt{10}$
  • b. $x \le -\sqrt{10} \text{ ou } x \ge \sqrt{10}$
  • c. $x \ge \sqrt{10}$
  • d. $x = \sqrt{10}$ ou $x = -\sqrt{10}$
xy0

Question 8

On a représenté ci-contre une droite $D$ dans un repère orthonormé. Une équation de la droite $D$ est :

  • a. $y = -\dfrac{3}{2}x + 2$
  • b. $y = \dfrac{2}{3}x + 2$
  • c. $2x - 3y - 6 = 0$
  • d. $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} - 1 = 0$
0D

Question 9

Parmi ces trois fonctions, celles qui sont affines sont :

$f_1(x)=x^2-\left( 1-x \right)^2$ ; $f_2(x)=\dfrac{x}{2}-\left( 1+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)$ ; $f_3(x)=\dfrac{5-\dfrac{2}{3}x}{0,7}$

  • a. aucune
  • b. toutes
  • c. uniquement la fonction $f_1$
  • d. uniquement les fonction $f_2$ et $f_3$

Question 10

On a représenté ci-contre une parabole $P$. Laquelle des fonctions représente-t-elle ?

a. $x^2-10$ b. $-x^2-10$ c. $-x^2+10$ d. $-x^2+10x$
0P

Question 11

On a représenté ci-contre la courbe $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$. Les points $A, B, R$ et $S$ appartiennent à la courbe $\mathcal{C}$. Leurs abscisses sont notées respectivement $x_A, x_B, x_R$ et $x_S$.

L'inéquation $x \times f(x) > 0$ est vérifiée par :

  • a. $x_A$ et $x_B$
  • b. $x_A$ et $x_R$
  • c. $x_A$ et $x_S$
  • d. $x_A, x_B$ et $x_S$
$O$
$\mathcal{C}$
$A$
$B$
$R$
$S$

Question 12

Voici une série de notes avec les coefficients associés.

Note10816
Coefficient12$x$

On note $m$ la moyenne de cette série. Que doit valoir $x$ pour que $m=15$ ?

a. impossible b. $x = 10^{-3}$ c. $x = 3$ d. $x = 19$

Q1 : Réponse b.
Le double de $5$ est $2 \times 5 = 10$. L'inverse de ce résultat est $\dfrac{1}{10}$.

Q2 : Réponse a.
En remplaçant les variables : $F = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4 \times \left( -\dfrac{1}{4} \right)}$.
Le dénominateur de la fraction est $4 \times \left( -\dfrac{1}{4} \right) = -1$.
On a donc $F = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{-1} = \dfrac{1}{2} - 3 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{6}{2} =$ $-\dfrac{5}{2}$.

Q3 : Réponse a.
Soit $CM$ le coefficient multiplicateur. $CM = 0,975$.
Le taux d'évolution est $t = CM - 1 = 0,975 - 1 = -0,025$.
On multiplie par $100$ pour l'avoir en pourcentage : $-0,025 \times 100 = -2,5\%$. C'est une baisse de $2,5\%$.

Q4 : Réponse c.
Le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients successifs : $CM_{\text{global}} = 1,1 \times 0,9 = 0,99$.
On a donc $P_1 = 0,99 \times P$. Comme $0,99 < 1$, on en déduit que $P_1 < P$.

Q5 : Réponse a.
La somme des probabilités de toutes les issues doit être égale à $1$.
$0,5 + \dfrac{1}{6} + 0,2 + x = 1$ donc $0,7 + \dfrac{1}{6} + x = 1$.
$x = 0,3 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{10} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{9}{30} - \dfrac{5}{30} = \dfrac{4}{30} =$ $\dfrac{2}{15}$.

Q6 : Réponse a.
On réduit au même dénominateur le membre de droite : $\dfrac{1}{u} = \dfrac{y}{xy} + \dfrac{x}{xy} = \dfrac{x+y}{xy}$.
On prend l'inverse des deux membres : $u = \dfrac{xy}{x+y}$.

Q7 : Réponse b.
L'inéquation $x^2 \ge 10$ est équivalente à $\sqrt{x^2} \ge \sqrt{10}$, ce qui signifie $|x| \ge \sqrt{10}$.
Graphiquement, on cherche les abscisses des points de la parabole situés au-dessus de la droite $y = 10$.
Les solutions sont $x \le -\sqrt{10}$ ou $x \ge \sqrt{10}$.

Q8 : Réponse d.
La droite passe par les points $(3;0)$ et $(0;2)$.
En testant l'équation d : $\dfrac{3}{3} + \dfrac{0}{2} - 1 = 1 + 0 - 1 = 0$ (Vrai) et $\dfrac{0}{3} + \dfrac{2}{2} - 1 = 0 + 1 - 1 = 0$ (Vrai).
L'équation est bien $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} - 1 = 0$.

Q9 : Réponse b.
$f_1(x) = x^2 - (1 - 2x + x^2) = 2x - 1$ (Affine).
$f_2(x) = \dfrac{1}{2}x - \left(1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ (Affine).
$f_3(x) = \dfrac{5}{0,7} - \dfrac{2}{3 \times 0,7}x$ (Affine).
Les trois fonctions sont de la forme $ax+b$, elles sont donc toutes affines.

Q10 : Réponse c.
La parabole est tournée vers le bas, donc $a < 0$. Son sommet est le point $(0;10)$.
La forme canonique est $a(x-x_S)^2 + y_S = a(x-0)^2 + 10 = ax^2 + 10$.
Seule la fonction $x \mapsto -x^2+10$ correspond (ici $a = -1$).

Q11 : Réponse b.
Le produit $x \times f(x)$ est strictement positif si $x$ et $f(x)$ sont de même signe.
- Cas 1 : $x > 0$ et $f(x) > 0$ (Quadrant en haut à droite). Point $R$.
- Cas 2 : $x < 0$ et $f(x) < 0$ (Quadrant en bas à gauche). Point $A$.
Les solutions sont $x_A$ et $x_R$.

Q12 : Réponse d.
La moyenne pondérée est $m = \dfrac{10 \times 1 + 8 \times 2 + 16 \times x}{1 + 2 + x} = \dfrac{26 + 16x}{3 + x}$.
On cherche $x$ tel que $\dfrac{26 + 16x}{3 + x} = 15$.
$26 + 16x = 15(3 + x) = 45 + 15x$.
$16x - 15x = 45 - 26$, donc $x = 19$.

DEUXIÈME PARTIE (14 pts)

Exercice 1 (7 points)

On considère la figure suivante, représentée dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$.

OABCIH
$\overrightarrow{i}$
$\overrightarrow{j}$

On dispose des données suivantes :

  • Le quadrilatère $OABC$ est un carré de côté 4 ;
  • On a $A(4;0)$, $B(4;4)$, $C(0;4)$, $I(4;3)$ ;
  • Le point $H$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(OI)$ ;
  • On note $\mathcal{C}$ le cercle de centre $D(2;2)$ et de rayon 0,5.
    1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{OI}$ et $\overrightarrow{OC}$.
    2. En déduire le produit scalaire $\overrightarrow{OI} \cdot \overrightarrow{OC}$.
    1. Exprimer le produit scalaire $\overrightarrow{OI} \cdot \overrightarrow{OC}$ en fonction des longueurs $OH$ et $OI$.
    2. Calculer la longueur $OI$.
    3. En déduire que $OH = 2,4$.
    1. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(CH)$.
    2. Justifier qu'une équation du cercle $\mathcal{C}$ est : $$x^{2} + y^{2} - 4x - 4y + 7,75 = 0$$
    3. Le point $M(1,5;2)$ appartient-il à l'intersection du cercle $\mathcal{C}$ et de la droite $(CH)$ ? Justifier.

1.a. Coordonnées :
$\overrightarrow{OM} \begin{pmatrix} x_M - x_O \\ y_M - y_O \end{pmatrix}$. Application : $O(0;0)$, donc $\overrightarrow{OI} \begin{pmatrix} 4-0 \\ 3-0 \end{pmatrix} = $ $ \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} $ et $\overrightarrow{OC} \begin{pmatrix} 0-0 \\ 4-0 \end{pmatrix} = $ $ \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix} $.

1.b. Produit scalaire :
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = xx' + yy'$. Application : $\overrightarrow{OI} \cdot \overrightarrow{OC} = 4 \times 0 + 3 \times 4 = $ $ 12 $.

2.a. Projection :
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v_H} = \pm ||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v_H}||$. Application : $H$ est le projeté de $C$ sur $(OI)$ et $H \in [OI)$, donc $ \overrightarrow{OI} \cdot \overrightarrow{OC} = OI \times OH $.

2.b. Longueur $OI$ :
$||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{x^2+y^2}$. Application : $OI = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = $ $ 5 $.

2.c. Longueur $OH$ :
$OH = \dfrac{\overrightarrow{OI} \cdot \overrightarrow{OC}}{OI}$. Application : $OH = \dfrac{12}{5} = $ $ 2,4 $.

3.a. Équation de $(CH)$ :
$ax + by + c = 0$ avec $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ normal. Application : $\overrightarrow{OI} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \perp (CH)$. $4x+3y+c=0$. Avec $C(0;4)$ : $4(0)+3(4)+c=0 \implies c=-12$. Donc $ 4x+3y-12=0 $.

3.b. Cercle $\mathcal{C}$ :
$(x-x_D)^2 + (y-y_D)^2 = R^2$. Application : $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 0,5^2 \iff x^2-4x+4+y^2-4y+4=0,25 \iff $ $ x^2+y^2-4x-4y+7,75=0 $.

3.c. Intersection :
$M \in d \cap \mathcal{C} \iff M \text{ vérifie les deux équations}$. Application : $4(1,5)+3(2)-12=6+6-12=0$ et $(1,5-2)^2+0=0,25$. $ \text{Vrai} $.

Exercice 2 (7 points)

On se place dans un repère $(O; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} )$ orthogonal.

  1. On considère la fonction $g$ définie par $g(x)=x^{2}-5x+4$. On note $\mathcal{P}$ sa courbe.
    1. Étudier le signe de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$.
    2. Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n}=2n-4$ où $a_n$ est la pente de $(A_n A_{n+1})$.
    3. Quelle est la nature de la suite $(a_{n})$?
  2. Soit $f$ sur $[0,5; 8]$ par $f(x)=x-5+\dfrac{4}{x}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe.
    1. Vérifier que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0,5; 8]$, on a $f(x)=\dfrac{g(x)}{x}$.
    2. Déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses.
    3. Montrer que $f^{\prime}(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^{2}}$.
    4. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
    5. Réaliser un schéma de l'allure de la courbe $\mathcal{C}$.

1.a. Signe de $g$ :
$\Delta = b^2 - 4ac$. Application : $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9$. Racines $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \in \{1 ; 4\}$. Comme $a=1 > 0$, $g(x)$ est $ \text{positive sur } ]-\infty ; 1] \cup [4 ; +\infty[ $.

1.b. Coefficient directeur $a_n$ :
$a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. Application : $a_n = \dfrac{g(n+1)-g(n)}{(n+1)-n} = (n+1)^2-5(n+1)+4-(n^2-5n+4) = $ $ 2n-4 $.

1.c. Nature de $(a_n)$ :
$u_{n+1} - u_n = r$. Application : $a_{n+1} - a_n = (2(n+1)-4) - (2n-4) = 2$. C'est une $ \text{suite arithmétique de raison } 2 $.

2.b. Position relative :
Signe de $f(x) - y_{\text{axe}}$. Application : $f(x) = \dfrac{g(x)}{x}$. Comme $x > 0$, $f(x)$ est du signe de $g(x)$. $\mathcal{C}$ est $ \text{au-dessus de l'axe sur } [0,5 ; 1] \cup [4 ; 8] $.

2.c. Dérivée :
$(u+v)' = u'+v'$ et $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$. Application : $f'(x) = 1 - 0 - \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2-4}{x^2} = $ $ \dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2} $.

2.d. Variations : $f(0,5)=3,5$, $f(2)=-1$, $f(8)=3,5$.

$x$
$0,5$$2$$8$
$f'(x)$
$-$$0$$+$
$f(x)$
$3,5$$-1$$3,5$

2.e. Schéma de l'allure :

$x$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$
$f(x)$ $0$ $-1$ $-\dfrac{2}{3}$ $0$ $0,8$
1 2 3 4 5 -1 1 xy $\mathcal{C}$